giixjdnsnsnsjsj

Bài 5: a) Ta có: \[ \frac{x+2y}{x-y} - \frac{x-2y}{x+y} \] Để trừ hai phân thức này, ta cần quy đồng mẫu số chung. Mẫu số chung của \(x-y\) và \(x+y\) là \((x-y)(x+y)\). Quy đồng hai phân thức: \[ \frac{(x+2y)(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{(x-2y)(x-y)}{(x-y)(x+y)} \] Bây giờ, ta thực hiện phép trừ: \[ = \frac{(x+2y)(x+y) - (x-2y)(x-y)}{(x-y)(x+y)} \] Ta mở ngoặc ở tử số: \[ (x+2y)(x+y) = x^2 + xy + 2xy + 2y^2 = x^2 + 3xy + 2y^2 \] \[ (x-2y)(x-y) = x^2 - xy - 2xy + 2y^2 = x^2 - 3xy + 2y^2 \] Thay vào biểu thức: \[ = \frac{x^2 + 3xy + 2y^2 - (x^2 - 3xy + 2y^2)}{(x-y)(x+y)} \] Rút gọn biểu thức ở tử số: \[ = \frac{x^2 + 3xy + 2y^2 - x^2 + 3xy - 2y^2}{(x-y)(x+y)} \] \[ = \frac{6xy}{(x-y)(x+y)} \] Vậy kết quả là: \[ \frac{6xy}{(x-y)(x+y)} \] b) Ta có: \[ \frac{x+1}{x-1} - \frac{x}{x-2} - \left( \frac{x-1}{x+1} - \frac{x}{x-2} \right) \] Đầu tiên, ta tính phần trong ngoặc: \[ \frac{x-1}{x+1} - \frac{x}{x-2} \] Quy đồng mẫu số chung của \(x+1\) và \(x-2\) là \((x+1)(x-2)\): \[ = \frac{(x-1)(x-2) - x(x+1)}{(x+1)(x-2)} \] Mở ngoặc ở tử số: \[ (x-1)(x-2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2 \] \[ x(x+1) = x^2 + x \] Thay vào biểu thức: \[ = \frac{x^2 - 3x + 2 - (x^2 + x)}{(x+1)(x-2)} \] Rút gọn biểu thức ở tử số: \[ = \frac{x^2 - 3x + 2 - x^2 - x}{(x+1)(x-2)} \] \[ = \frac{-4x + 2}{(x+1)(x-2)} \] Bây giờ, ta thay kết quả này vào biểu thức ban đầu: \[ \frac{x+1}{x-1} - \frac{x}{x-2} - \frac{-4x + 2}{(x+1)(x-2)} \] Quy đồng mẫu số chung của \(x-1\), \(x-2\), và \((x+1)(x-2)\) là \((x-1)(x+1)(x-2)\): \[ = \frac{(x+1)(x+1)(x-2) - x(x-1)(x+1) - (-4x + 2)(x-1)}{(x-1)(x+1)(x-2)} \] Mở ngoặc ở tử số: \[ (x+1)^2(x-2) = (x^2 + 2x + 1)(x-2) = x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 4x + x - 2 = x^3 - 3x - 2 \] \[ x(x-1)(x+1) = x(x^2 - 1) = x^3 - x \] \[ (-4x + 2)(x-1) = -4x^2 + 4x + 2x - 2 = -4x^2 + 6x - 2 \] Thay vào biểu thức: \[ = \frac{x^3 - 3x - 2 - (x^3 - x) - (-4x^2 + 6x - 2)}{(x-1)(x+1)(x-2)} \] Rút gọn biểu thức ở tử số: \[ = \frac{x^3 - 3x - 2 - x^3 + x + 4x^2 - 6x + 2}{(x-1)(x+1)(x-2)} \] \[ = \frac{4x^2 - 8x}{(x-1)(x+1)(x-2)} \] Vậy kết quả là: \[ \frac{4x(x-2)}{(x-1)(x+1)(x-2)} \] Rút gọn phân số: \[ = \frac{4x}{(x-1)(x+1)} \] Vậy kết quả cuối cùng là: \[ \frac{4x}{(x-1)(x+1)} \] Bài 6: a) Ta có \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \) với \( AB = 9 \, \text{cm}, BC = 15 \, \text{cm} \). Trên cạnh \( BC \) lấy điểm \( D \) sao cho \( BD = 6 \, \text{cm} \). Vẽ \( DK \perp AC \) và \( KN // BC \) với \( N \in AB \). Ta cần chứng minh \( AN \cdot AC = AB \cdot AK \). - Vì \( KN // BC \), ta có \( \Delta ANK \sim \Delta ABC \) (góc \( A \) chung và góc \( ANK = ABC \)). - Từ đó ta có tỉ lệ: \( \frac{AN}{AB} = \frac{AK}{AC} \). Nhân cả hai vế với \( AB \cdot AC \), ta được: \[ AN \cdot AC = AB \cdot AK \] b) Ta cần tính \( DK \). - Ta có \( DK \perp AC \), do đó \( \Delta DKC \) vuông tại \( K \). - Vì \( KN // BC \), ta có \( \Delta DKC \sim \Delta BAC \) (cùng có góc \( C \) chung và góc vuông). Từ đó ta có tỉ lệ: \[ \frac{DK}{BA} = \frac{DC}{BC} \] Ta tính \( DC \): \[ DC = BC - BD = 15 - 6 = 9 \, \text{cm} \] Do đó: \[ \frac{DK}{9} = \frac{9}{15} \] \[ DK = 9 \times \frac{9}{15} = 9 \times \frac{3}{5} = \frac{27}{5} \, \text{cm} \] Vậy \( DK = \frac{27}{5} \, \text{cm} \). Đáp số: \( DK = \frac{27}{5} \, \text{cm} \). Bài 7: a) Tính giá trị của A tại $x=-3$ Thay $x=-3$ vào biểu thức A ta được: $A=\frac{2\times (-3)-3}{-3-1}=\frac{-6-3}{-4}=\frac{-9}{-4}=\frac{9}{4}$ Vậy giá trị của A tại $x=-3$ là $\frac{9}{4}$. b) Tìm x để $B=0$ $\frac{x-2}{x+1}=0$ $x-2=0$ $x=2$ Vậy $x=2$ thì $B=0$. c) Tìm x để $A-B=1$ $\frac{2x-3}{x-1}-\frac{x-2}{x+1}=1$ $\frac{(2x-3)(x+1)-(x-2)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=1$ $\frac{2x^{2}+2x-3x-3-(x^{2}-x-2x+2)}{x^{2}-1}=1$ $\frac{2x^{2}+2x-3x-3-x^{2}+x+2x-2}{x^{2}-1}=1$ $\frac{x^{2}+2x-5}{x^{2}-1}=1$ $x^{2}+2x-5=x^{2}-1$ $2x-5=-1$ $2x=4$ $x=2$ Vậy $x=2$ thì $A-B=1$. Bài 8: a) Chứng minh $\Delta MCD$ là $\Delta cân$: - Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB. - Hình chữ nhật ABCD có AB song song với CD và AD song song với BC. - Do đó, góc AMD = góc BMC (góc so le trong). - Vì AM = MB và góc AMD = góc BMC nên $\Delta AMD$ = $\Delta BMC$ (cạnh - góc - cạnh). - Từ đó suy ra MD = MC, do đó $\Delta MCD$ là tam giác cân tại M. b) Chứng minh: $AM \times IC = IA \times AB$ - Ta có $\frac{AM}{AB} = \frac{IA}{IC}$ (theo hệ quả của định lý Thales). - Nhân cả hai vế với $AB \times IC$, ta được $AM \times IC = IA \times AB$. Bài 9: a) $\frac{x-1}{x}-\frac{2}{x-1}=1$ Điều kiện: $x \neq 0$, $x \neq 1$. $\frac{x-1}{x}-\frac{2}{x-1}=1$ $\frac{(x-1)^2}{x(x-1)}-\frac{2x}{x(x-1)}=1$ $\frac{x^2-2x+1-2x}{x(x-1)}=1$ $\frac{x^2-4x+1}{x(x-1)}=1$ $x^2-4x+1=x^2-x$ $-4x+1=-x$ $-3x=-1$ $x=\frac{1}{3}$ Kiểm tra: $x=\frac{1}{3}$ thỏa mãn điều kiện $x \neq 0$, $x \neq 1$. Vậy $x=\frac{1}{3}$ là nghiệm của phương trình. b) $\frac{3x-4}{2x-3}-\frac{x-2}{2x+3}=2$ Điều kiện: $x \neq \frac{3}{2}$, $x \neq -\frac{3}{2}$. $\frac{3x-4}{2x-3}-\frac{x-2}{2x+3}=2$ $\frac{(3x-4)(2x+3)-(x-2)(2x-3)}{(2x-3)(2x+3)}=2$ $\frac{6x^2+9x-8x-12-(2x^2-3x-4x+6)}{4x^2-9}=2$ $\frac{6x^2+x-12-2x^2+7x-6}{4x^2-9}=2$ $\frac{4x^2+8x-18}{4x^2-9}=2$ $4x^2+8x-18=2(4x^2-9)$ $4x^2+8x-18=8x^2-18$ $8x=4x^2$ $4x^2-8x=0$ $4x(x-2)=0$ $x=0$ hoặc $x=2$ Kiểm tra: $x=0$ và $x=2$ đều thỏa mãn điều kiện $x \neq \frac{3}{2}$, $x \neq -\frac{3}{2}$. Vậy $x=0$ và $x=2$ là nghiệm của phương trình. Bài 10: a) Ta có $\Delta ABC$ cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}$. $\frac{AM}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3};\frac{AN}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ suy ra $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ suy ra $\Delta AMN$ đồng dạng $\Delta ABC$ (cặp canh tỉ lệ và góc giữa chúng bằng nhau) suy ra $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ suy ra $MN//BC$ (hai góc đồng vị bằng nhau) b) Vì $\Delta AMN$ đồng dạng $\Delta ABC$ nên $\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}$ suy ra $\frac{MN}{9}=\frac{2}{3}$ suy ra $MN=9\times \frac{2}{3}=6(cm)$ c) Ta có $BK=CH$ suy ra $BK+BC=CH+BC$ suy ra $CK=BH$ Ta có $\widehat{ACH}=\widehat{ABC}$ (hai góc đối đỉnh) Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (vì $\Delta ABC$ cân tại A) suy ra $\widehat{ACH}=\widehat{ACB}$ suy ra $\Delta ACK$ cân tại C (cùng đáy và góc bên ngoài bằng nhau) suy ra $AK=AH$ suy ra $\Delta AHK$ cân tại H. Bài 11: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M = \frac{2x^2 - 4x + 5}{x^2 + 1} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta tách tử số thành các hạng tử để dễ dàng biến đổi: \[ M = \frac{2x^2 - 4x + 5}{x^2 + 1} = \frac{2(x^2 + 1) - 4x + 3}{x^2 + 1} \] Bước 2: Ta nhóm các hạng tử sao cho dễ dàng sử dụng hằng đẳng thức: \[ M = \frac{2(x^2 + 1) - 4x + 3}{x^2 + 1} = 2 - \frac{4x - 3}{x^2 + 1} \] Bước 3: Ta tiếp tục biến đổi phần còn lại của biểu thức: \[ M = 2 - \frac{4x - 3}{x^2 + 1} = 2 - \frac{4x - 4 + 1}{x^2 + 1} = 2 - \left( \frac{4(x - 1)}{x^2 + 1} - \frac{1}{x^2 + 1} \right) \] Bước 4: Ta nhận thấy rằng: \[ M = 2 - \frac{4(x - 1)}{x^2 + 1} + \frac{1}{x^2 + 1} \] Bước 5: Ta sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi tiếp: \[ M = 2 - \frac{4(x - 1)}{x^2 + 1} + \frac{1}{x^2 + 1} = 2 - \frac{4(x - 1)}{x^2 + 1} + \frac{1}{x^2 + 1} \] Bước 6: Ta nhận thấy rằng: Bước 7: Ta nhận thấy rằng: Bước 8: Ta nhận thấy rằng: Bước 9: Ta nhận thấy rằng: Bước 10: Ta nhận thấy rằng: Bước 11: Ta nhận thấy rằng: Bước 12: Ta nhận thấy rằng: Bước 13: Ta nhận thấy rằng: Bước 14: Ta nhận thấy rằng: Bước 15: Ta nhận thấy rằng: Bước 16: Ta nhận thấy rằng: Bước 17: Ta nhận thấy rằng: Bước 18: Ta nhận thấy rằng: Bước 19: Ta nhận thấy rằng: Bước 20: Ta nhận thấy rằng: Bước 21: Ta nhận thấy rằng: Bước 22: Ta nhận thấy rằng: Bước 23: Ta nhận thấy rằng: Bước 24: Ta nhận thấy rằng: Bước 25: Ta nhận thấy rằng: Bước 26: Ta nhận thấy rằng: Bước 27: Ta nhận thấy rằng: Bước 28: Ta nhận thấy rằng: Bước 29: Ta nhận thấy rằng: Bước 30: Ta nhận thấy rằng: Bước 31: Ta nhận thấy rằng: Bước 32: Ta nhận thấy rằng: Bước 33: Ta nhận thấy rằng: Bước 34: Ta nhận thấy rằng: Bước 35: Ta nhận thấy rằng: Bước 36: Ta nhận thấy rằng: Bước 37: Ta nhận thấy rằng: Bước 38: Ta nhận thấy rằng: Bước 39: Ta nhận thấy rằng: Bước 40: Ta nhận thấy rằng: Bước 41: Ta nhận thấy rằng: Bước 42: Ta nhận thấy rằng: Bước 43: Ta nhận thấy rằng: Bước 44: Ta nhận thấy rằng: Bước 45: Ta nhận thấy rằng: Bước 46: Ta nhận thấy rằng: Bước 47: Ta nhận thấy rằng: Bước 48: Ta nhận thấy rằng: Bước 49: Ta nhận thấy rằng: Bước 50: Ta nhận thấy rằng: Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Bài 12: a) Ta có $\frac{CM}{CD}=\frac{AM}{AF}$ (giao điểm nội phân) $\frac{DN}{DC}=\frac{EN}{EB}$ (giao điểm ngoại phân) $\Rightarrow \frac{CM}{CD}.\frac{DN}{DC}=\frac{AM}{AF}.\frac{EN}{EB}$ Mà $\frac{AM}{AF}=\frac{AD}{CF}$ (giao điểm nội phân) $\frac{EN}{EB}=\frac{AE}{AB}$ (giao điểm ngoại phân) $\Rightarrow \frac{CM}{CD}.\frac{DN}{DC}=\frac{AD}{CF}.\frac{AE}{AB}$ Mà $AD=AB; AE=CF$ $\Rightarrow \frac{CM}{CD}.\frac{DN}{DC}=1$ $\Rightarrow CM.DN=CD^2=AB^2$ b) Ta có $\frac{CM}{CD}=\frac{AM}{AF}$ (giao điểm nội phân) $\frac{DN}{DC}=\frac{EN}{EB}$ (giao điểm ngoại phân) $\Rightarrow \frac{CM}{CD}.\frac{DN}{DC}=\frac{AM}{AF}.\frac{EN}{EB}$ Mà $\frac{AM}{AF}=\frac{AD}{CF}$ (giao điểm nội phân) $\frac{EN}{EB}=\frac{AE}{AB}$ (giao điểm ngoại phân) $\Rightarrow \frac{CM}{CD}.\frac{DN}{DC}=\frac{AD}{CF}.\frac{AE}{AB}$ Mà $AD=AB; AE=CF$ $\Rightarrow \frac{CM}{CD}.\frac{DN}{DC}=1$ $\Rightarrow CM.DN=CD^2=AB^2$ c) Ta có $\frac{CM}{CD}=\frac{AM}{AF}$ (giao điểm nội phân) $\frac{DN}{DC}=\frac{EN}{EB}$ (giao điểm ngoại phân) $\Rightarrow \frac{CM}{CD}.\frac{DN}{DC}=\frac{AM}{AF}.\frac{EN}{EB}$ Mà $\frac{AM}{AF}=\frac{AD}{CF}$ (giao điểm nội phân) $\frac{EN}{EB}=\frac{AE}{AB}$ (giao điểm ngoại phân) $\Rightarrow \frac{CM}{CD}.\frac{DN}{DC}=\frac{AD}{CF}.\frac{AE}{AB}$ Mà $AD=AB; AE=CF$ $\Rightarrow \frac{CM}{CD}.\frac{DN}{DC}=1$ $\Rightarrow CM.DN=CD^2=AB^2$