Cho nửa đường tròn đường kính AD.Lấy điểm B thuộc nửa đường tròn ( B khác A và D),trên cung BD lấy điểm C (C khác B và D).2 dây AC,BD cắt nhau tại điểm E.Kẻ đoạn thắng EF vuông góc với AD (F thuộc AD)
a) C/m tứ giác ABEF nội tiếp
b) C/m AE.AC=AF.AD
c) C/m E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BFC
VẼ HÌNH

Question

Accepted Answer

a) B thuộc đường tròn (O) suy ra $\displaystyle \widehat{ABD} =90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra $\displaystyle \widehat{ABE} =90^{0}$
$\displaystyle EF\perp AD\ ( gt) \ $suy ra $\displaystyle \widehat{AFE} =90^{0}$
Xét tứ giác ABEF có: $\displaystyle \widehat{ABE} +\widehat{AFE} =90^{0} +90^{0} =180^{0}$ mà 2 góc này đối nhau
suy ra ABEF là tứ giác nội tiếp
b) C thuộc đường tròn (O) suy ra $\displaystyle \widehat{ACD} =90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét $\displaystyle \vartriangle $AFE và ACD có:
$\displaystyle \widehat{CAD}$ chung
$\displaystyle \widehat{AFE} =\widehat{ACD} =90^{0} \ ( cmt) \ $
Vậy $\displaystyle \vartriangle $AFE đồng dạng với $\displaystyle \vartriangle $ACD (g.g)
Suy ra $\displaystyle \frac{AF}{AC} =\frac{AE}{AD}$
Suy ra $\displaystyle AE.AC=AF.AD\ $
c) Xét (O) có: $\displaystyle \widehat{BAC} =\widehat{BDC}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
Suy ra $\displaystyle \widehat{BAE} =\widehat{EDC} \ ( 1)$
Tứ giác ABEF nội tiếp (cmt) suy ra $\displaystyle \widehat{BAE} =\widehat{BFE}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BE) (2)
Tứ giác CDFE có: $\displaystyle \widehat{ECD} +\widehat{EFD} =90^{0} +90^{0} =180^{0}$
suy ra CDFE là tứ giác nội tiếp
Suy ra $\displaystyle \widehat{EFC} =\widehat{EDC}$ (2 góc nội tiếp chắn cung EC) (3)
Từ (1); (2) và (3) suy ra $\displaystyle \widehat{BFE} =\widehat{EFC}$
Suy ra FE là phân giác của $\displaystyle \widehat{BFC}$
Xét (O) có: $\displaystyle \widehat{ACB} =\widehat{ADB}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Suy ra $\displaystyle \widehat{ECB} =\widehat{EDF}$
Tứ giác CDFE nội tiếp suy ra $\displaystyle \widehat{ECF} =\widehat{EDF}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EF)
Suy ra $\displaystyle \widehat{ECB} =\widehat{ECF}$
Suy ra CE là phân giác của $\displaystyle \widehat{BCF}$
Tam giác BCF có:
FE là phân giác của $\displaystyle \widehat{BFC}$ (cmt)
CE là phân giác của $\displaystyle \widehat{BCF}$ (cmt)
Mà E là giao điểm của EF và CE
Vậy E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCF

Cho nửa đường tròn đường kính AD.Lấy điểm B thuộc nửa đường tròn ( B khác A và D),trên cung BD lấy điểm C (C khác B và D).2 dây AC,BD cắt nhau tại điểm E.Kẻ đoạn thắng EF vuông góc với AD (F thuộc AD)...