Cho đa giác đều có 2n đỉnh. Biết rằng số tam giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật . ( Các đỉnh lấy từ 2n đỉnh đã cho )

a) Tìm n

b) Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh. Tính xác suất để bốn đỉnh đó lập thành hình chữ nhật.

Question

Cho đa giác đều có 2n đỉnh. Biết rằng số tam giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật . ( Các đỉnh lấy từ 2n đỉnh đã cho )

a) Tìm n

b) Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh. Tính xác suất để bốn đỉnh đó lập thành hình chữ nhật.

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định số lượng tam giác và hình chữ nhật

- Số lượng tam giác trong một đa giác đều có 2n đỉnh là:
  $$
  C_{2n}^3 = \frac{(2n)(2n-1)(2n-2)}{6}
  $$

- Số lượng hình chữ nhật trong một đa giác đều có 2n đỉnh là:
  $$
  C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}
  $$

Bước 2: Áp dụng điều kiện bài toán

Theo bài toán, số tam giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật:
$$
C_{2n}^3 = 20 \times C_n^2
$$

Thay các công thức vào:
$$
\frac{(2n)(2n-1)(2n-2)}{6} = 20 \times \frac{n(n-1)}{2}
$$

Rút gọn phương trình:
$$
(2n)(2n-1)(2n-2) = 60 \times n(n-1)
$$

Chia cả hai vế cho $ n $:
$$
(2)(2n-1)(2n-2) = 60 \times (n-1)
$$

Phân tích và rút gọn:
$$
(2n-1)(2n-2) = 30 \times (n-1)
$$

Bước 3: Giải phương trình

Ta có phương trình:
$$
(2n-1)(2n-2) = 30(n-1)
$$

Mở rộng và sắp xếp lại:
$$
4n^2 - 6n + 2 = 30n - 30
$$

Di chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
$$
4n^2 - 36n + 32 = 0
$$

Chia cả phương trình cho 4:
$$
n^2 - 9n + 8 = 0
$$

Giải phương trình bậc hai:
$$
n = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{9 \pm 7}{2}
$$

Vậy:
$$
n = 8 \quad \text{hoặc} \quad n = 1
$$

Do $ n = 1 $ không thỏa mãn điều kiện của đa giác đều, nên:
$$
n = 8
$$

Bước 4: Tính xác suất để bốn đỉnh đó lập thành hình chữ nhật

Số đỉnh của đa giác là $ 2n = 16 $.

Số cách chọn 4 đỉnh bất kỳ từ 16 đỉnh:
$$
C_{16}^4 = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13}{24} = 1820
$$

Số cách chọn 4 đỉnh để lập thành hình chữ nhật (suy ra từ $ C_8^2 $):
$$
C_8^2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28
$$

Xác suất để bốn đỉnh đó lập thành hình chữ nhật:
$$
P = \frac{28}{1820} = \frac{1}{65}
$$

Đáp số:
a) $ n = 8 $

b) Xác suất để bốn đỉnh đó lập thành hình chữ nhật là $ \frac{1}{65} $.

Cho đa giác đều có 2n đỉnh. Biết rằng số tam giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật . ( Các đỉnh lấy từ 2n đỉnh đã cho ) a) Tìm n b) Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh. Tính xác suất để bốn đỉnh đó lập thành h...