Làm bài này

3. Để viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B, ta cần tìm tọa độ của đỉnh B và biết rằng đường cao này vuông góc với đường thẳng CA. Tìm tọa độ đỉnh B: - Giao điểm của AB và BC là đỉnh B. - Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2x - 3y - 1 = 0 \\ x + 3y + 7 = 0 \end{cases} \] Cộng hai phương trình: \[ 3x + 6 = 0 \implies x = -2 \] Thay \( x = -2 \) vào \( x + 3y + 7 = 0 \): \[ -2 + 3y + 7 = 0 \implies 3y + 5 = 0 \implies y = -\frac{5}{3} \] Vậy tọa độ đỉnh B là \( B(-2, -\frac{5}{3}) \). Phương trình đường thẳng CA là \( 5x - 2y + 1 = 0 \). Đường cao từ B vuông góc với CA, nên hệ số góc của đường cao là \( -\frac{1}{m_{CA}} \), trong đó \( m_{CA} = \frac{5}{2} \). Vậy hệ số góc của đường cao là \( -\frac{2}{5} \). Phương trình đường cao từ B: \[ y + \frac{5}{3} = -\frac{2}{5}(x + 2) \] Nhân cả hai vế với 15 để loại bỏ mẫu số: \[ 15(y + \frac{5}{3}) = -6(x + 2) \implies 15y + 25 = -6x - 12 \implies 6x + 15y + 37 = 0 \] 4. a) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm A(3, 2) và song song với đường thẳng PQ: - Tìm hệ số góc của PQ: \[ m_{PQ} = \frac{-2 - 0}{0 - 4} = \frac{1}{2} \] Phương trình đường thẳng đi qua A(3, 2) và có hệ số góc \( \frac{1}{2} \): \[ y - 2 = \frac{1}{2}(x - 3) \implies 2(y - 2) = x - 3 \implies x - 2y + 1 = 0 \] b) Phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn thẳng PQ: - Tọa độ trung điểm của PQ: \[ M = \left( \frac{4 + 0}{2}, \frac{0 - 2}{2} \right) = (2, -1) \] - Hệ số góc của PQ là \( \frac{1}{2} \), nên hệ số góc của đường trung trực là \( -2 \). Phương trình đường trung trực: \[ y + 1 = -2(x - 2) \implies y + 1 = -2x + 4 \implies 2x + y - 3 = 0 \] 5. a) Phương trình tổng quát của đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua điểm M: - Đường thẳng d: \( x - y = 0 \) hay \( y = x \). - Điểm M(2, 1) nằm trên đường thẳng d, nên đường thẳng đối xứng với d qua M chính là d. b) Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d: - Đường thẳng d: \( y = x \). - Hình chiếu của M(2, 1) trên d là điểm N(a, a). - Đường thẳng MN vuông góc với d, nên hệ số góc của MN là -1. Phương trình đường thẳng MN: \[ y - 1 = -1(x - 2) \implies y - 1 = -x + 2 \implies x + y - 3 = 0 \] Giao điểm của MN và d: \[ \begin{cases} x + y - 3 = 0 \\ y = x \end{cases} \] Thay \( y = x \) vào \( x + y - 3 = 0 \): \[ x + x - 3 = 0 \implies 2x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2} \] Vậy tọa độ hình chiếu của M là \( N(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}) \). 6. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng và tìm giao điểm (nếu có): a) \( 2x - 5y + 3 = 0 \) và \( 5x + 2y - 3 = 0 \): - Hệ số góc của hai đường thẳng khác nhau, nên chúng cắt nhau. - Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2x - 5y + 3 = 0 \\ 5x + 2y - 3 = 0 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ nhất với 5 và phương trình thứ hai với 2: \[ \begin{cases} 10x - 25y + 15 = 0 \\ 10x + 4y - 6 = 0 \end{cases} \] Trừ hai phương trình: \[ -29y + 21 = 0 \implies y = \frac{21}{29} \] Thay \( y = \frac{21}{29} \) vào \( 2x - 5y + 3 = 0 \): \[ 2x - 5 \cdot \frac{21}{29} + 3 = 0 \implies 2x - \frac{105}{29} + 3 = 0 \implies 2x = \frac{105}{29} - 3 = \frac{105 - 87}{29} = \frac{18}{29} \implies x = \frac{9}{29} \] Vậy giao điểm là \( \left( \frac{9}{29}, \frac{21}{29} \right) \). b) \( x - 3y + 4 = 0 \) và \( 0,5x - 1,5y + 4 = 0 \): - Nhân phương trình thứ hai với 2: \[ x - 3y + 8 = 0 \] Hai phương trình này là phương trình của cùng một đường thẳng, nên chúng trùng nhau. c) \( 10x + 2y - 3 = 0 \) và \( 5x + y - 1,5 = 0 \): - Nhân phương trình thứ hai với 2: \[ 10x + 2y - 3 = 0 \] Hai phương trình này là phương trình của cùng một đường thẳng, nên chúng trùng nhau.