Tính nguyên hàm

Để tính nguyên hàm $\int^4_12\sqrt xdx$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm số cần tính nguyên hàm. Hàm số cần tính nguyên hàm là $f(x) = 2\sqrt{x}$. Bước 2: Tìm nguyên hàm không xác định của hàm số. Ta có: \[ \int 2\sqrt{x} \, dx = 2 \int x^{1/2} \, dx \] Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (với $n \neq -1$): \[ 2 \int x^{1/2} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}} + C = 2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + C = \frac{4}{3} x^{3/2} + C \] Bước 3: Tính nguyên hàm xác định từ 1 đến 4. \[ \int^4_1 2\sqrt{x} \, dx = \left[ \frac{4}{3} x^{3/2} \right]^4_1 \] Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức: \[ \left[ \frac{4}{3} x^{3/2} \right]^4_1 = \frac{4}{3} (4)^{3/2} - \frac{4}{3} (1)^{3/2} \] Tính giá trị cụ thể: \[ (4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8 \] \[ (1)^{3/2} = 1 \] Do đó: \[ \frac{4}{3} (4)^{3/2} - \frac{4}{3} (1)^{3/2} = \frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{32}{3} - \frac{4}{3} = \frac{28}{3} \] Vậy, nguyên hàm $\int^4_1 2\sqrt{x} \, dx$ là $\frac{28}{3}$. Đáp số: $\frac{28}{3}$.