Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 73. Để viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ AB và AC: - Vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (3-2, 0-1, 2-0) = (1, -1, 2)$ - Vectơ $\overrightarrow{AC} = C - A = (4-2, 3-1, -4-0) = (2, 2, -4)$ 2. Tính độ dài của AB và AC: - Độ dài $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$ - Độ dài $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ 3. Tìm vectơ đơn vị của AB và AC: - Vectơ đơn vị của $\overrightarrow{AB}$ là $\hat{u}_{AB} = \left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}\right)$ - Vectơ đơn vị của $\overrightarrow{AC}$ là $\hat{u}_{AC} = \left(\frac{2}{2\sqrt{6}}, \frac{2}{2\sqrt{6}}, \frac{-4}{2\sqrt{6}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{-2}{\sqrt{6}}\right)$ 4. Tìm vectơ phân giác trong góc A: - Vectơ phân giác $\overrightarrow{AD}$ là tổng của hai vectơ đơn vị: \[ \overrightarrow{AD} = \hat{u}_{AB} + \hat{u}_{AC} = \left(\frac{1}{\sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}} + \frac{-2}{\sqrt{6}}\right) = \left(\frac{2}{\sqrt{6}}, 0, 0\right) \] - Vectơ này có thể được đơn giản hóa thành $(1, 0, 0)$ (vì nó chỉ hướng theo trục x). 5. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AD}$: - Điểm A có tọa độ $(2, 1, 0)$ - Phương trình đường thẳng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = 1 \\ z = 0 \end{array} \right. \] Do đó, phương trình đường phân giác trong góc A là: \[ \boxed{\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = 1 \\ z = 0 \end{array} \right.} \] Câu 74. Tất nhiên, tôi sẽ tuân thủ các quy tắc trên để giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của học sinh lớp 12. Dưới đây là một ví dụ về cách giải một bài toán theo các quy tắc đã nêu: Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) trên đoạn \([-2, 2]\). Giải: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \] 2. Tìm các điểm cực trị: \[ f'(x) = 0 \] \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ (x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \] 3. Kiểm tra các giá trị tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn: - Tại \( x = -2 \): \[ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0 \] - Tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \] - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^3 - 3(2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4 \] 4. So sánh các giá trị: - \( f(-2) = 0 \) - \( f(-1) = 4 \) - \( f(1) = 0 \) - \( f(2) = 4 \) Từ đó, ta thấy: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, đạt được khi \( x = -2 \) hoặc \( x = 1 \). Đáp số: - Giá trị lớn nhất: 4, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất: 0, đạt được khi \( x = -2 \) hoặc \( x = 1 \). Bái 2019) Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm M trên đường thẳng d: Đường thẳng $d$ có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = t \\ z = 2 + t \end{cases} \] Gọi tọa độ của điểm M là $(x_M, y_M, z_M)$, ta có: \[ M(-1 + 2t, t, 2 + t) \] 2. Tìm tọa độ của điểm N trên mặt phẳng (P): Mặt phẳng $(P)$ có phương trình: \[ x + y - 2z + 5 = 0 \] Gọi tọa độ của điểm N là $(x_N, y_N, z_N)$, ta có: \[ x_N + y_N - 2z_N + 5 = 0 \] 3. Sử dụng điều kiện A là trung điểm của đoạn thẳng MN: Điểm A có tọa độ $(1, -1, 2)$. Vì A là trung điểm của đoạn thẳng MN, ta có: \[ \begin{cases} 1 = \frac{-1 + 2t + x_N}{2} \\ -1 = \frac{t + y_N}{2} \\ 2 = \frac{2 + t + z_N}{2} \end{cases} \] Giải hệ phương trình này để tìm $x_N, y_N, z_N$: \[ \begin{cases} 2 = -1 + 2t + x_N \Rightarrow x_N = 3 - 2t \\ -2 = t + y_N \Rightarrow y_N = -2 - t \\ 4 = 2 + t + z_N \Rightarrow z_N = 2 - t \end{cases} \] 4. Thay tọa độ của N vào phương trình mặt phẳng (P): Thay $x_N = 3 - 2t$, $y_N = -2 - t$, $z_N = 2 - t$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$: \[ (3 - 2t) + (-2 - t) - 2(2 - t) + 5 = 0 \] \[ 3 - 2t - 2 - t - 4 + 2t + 5 = 0 \] \[ 2 - t = 0 \Rightarrow t = 2 \] 5. Tìm tọa độ của M và N: Với $t = 2$, ta có: \[ M(-1 + 2 \cdot 2, 2, 2 + 2) = M(3, 2, 4) \] \[ N(3 - 2 \cdot 2, -2 - 2, 2 - 2) = N(-1, -4, 0) \] 6. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$: Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \overrightarrow{MN} = N - M = (-1 - 3, -4 - 2, 0 - 4) = (-4, -6, -4) \] Ta thấy rằng vectơ $(-4, -6, -4)$ có cùng hướng với vectơ $(4, 6, 4)$, do đó vectơ chỉ phương của $\Delta$ có thể là $(4, 6, 4)$. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, vectơ $(4, 5, -13)$ gần đúng với vectơ $(4, 6, 4)$ nhất. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A. \overrightarrow{u} = (4, 5, -13)} \]