Trongkhônggian Oxyz,chomặtcầu (S):x2 y2 z2 2025.Hỏicóbaonhiêuđiểm M(a;b;c) với abc0 thuộc mặt cầu (S) sao cho tiếp diện của (S) tại M cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại
A, B, C có thể tích khối tứ diện OABC là nhỏ nhất?
A. 1. B. 2. C. 4.
D. 8.

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại điểm M(a, b, c):
   Mặt cầu (S) có phương trình $ x^2 + y^2 + z^2 = 2025 $. Tiếp diện của mặt cầu tại điểm $ M(a, b, c) $ có phương trình:
   $$
   ax + by + cz = 2025
   $$

2. Tìm tọa độ giao điểm của tiếp diện với các trục:
   - Giao điểm với trục Ox: $ A \left( \frac{2025}{a}, 0, 0 \right) $
   - Giao điểm với trục Oy: $ B \left( 0, \frac{2025}{b}, 0 \right) $
   - Giao điểm với trục Oz: $ C \left( 0, 0, \frac{2025}{c} \right) $

3. Tính thể tích khối tứ diện OABC:
   Thể tích khối tứ diện OABC được tính bằng công thức:
   $$
   V = \frac{1}{6} \left| \frac{2025}{a} \cdot \frac{2025}{b} \cdot \frac{2025}{c} \right| = \frac{2025^3}{6 |abc|}
   $$
   Để thể tích nhỏ nhất, $ |abc| $ phải lớn nhất.

4. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
   Ta có:
   $$
   a^2 + b^2 + c^2 = 2025
   $$
   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
   $$
   (a^2 + b^2 + c^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (a + b + c)^2
   $$
   $$
   2025 \cdot 3 \geq (a + b + c)^2
   $$
   $$
   6075 \geq (a + b + c)^2
   $$
   $$
   a + b + c \leq \sqrt{6075}
   $$
   Để $ |abc| $ lớn nhất, $ a = b = c $. Do đó:
   $$
   3a^2 = 2025 \Rightarrow a^2 = 675 \Rightarrow a = \sqrt{675} = 15\sqrt{3}
   $$
   Vậy $ a = b = c = 15\sqrt{3} $.

5. Kiểm tra điều kiện $ a + b + c > 0 $:
   $$
   a + b + c = 3 \times 15\sqrt{3} = 45\sqrt{3} > 0
   $$

6. Tìm số điểm M(a, b, c):
   Vì $ a = b = c = 15\sqrt{3} $ hoặc $ a = b = c = -15\sqrt{3} $, nhưng do $ a + b + c > 0 $, chỉ có trường hợp $ a = b = c = 15\sqrt{3} $ thỏa mãn. Tuy nhiên, mỗi biến có thể dương hoặc âm, dẫn đến 8 điểm khác nhau:
   $$
   (15\sqrt{3}, 15\sqrt{3}, 15\sqrt{3}), (-15\sqrt{3}, 15\sqrt{3}, 15\sqrt{3}), (15\sqrt{3}, -15\sqrt{3}, 15\sqrt{3}), (15\sqrt{3}, 15\sqrt{3}, -15\sqrt{3})
   $$
   $$
   (-15\sqrt{3}, -15\sqrt{3}, 15\sqrt{3}), (-15\sqrt{3}, 15\sqrt{3}, -15\sqrt{3}), (15\sqrt{3}, -15\sqrt{3}, -15\sqrt{3}), (-15\sqrt{3}, -15\sqrt{3}, -15\sqrt{3})
   $$

Vậy có 8 điểm M(a, b, c) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Đáp án: D. 8

Trongkhônggian Oxyz,chomặtcầu (S):x2 y2 z2 2025.Hỏicóbaonhiêuđiểm M(a;b;c) với abc0 thuộc mặt cầu (S) sao cho tiếp diện của (S) tại M cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A, B, C có thể tích khối t...