Giải hộ mình câu này với các bạn,1h nữa mình học rồi!!!!!!!!!!!!!!!!!!.(Gợi ý dùng Bunyakovsky)

Bài 1: Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \( P = a^3 + b^3 \) với điều kiện \( a^3 + b^4 \leq a^2 + b^3 \), ta làm như sau: 1. Xét điều kiện \( a = 0 \): - Khi \( a = 0 \), ta có \( b^4 \leq b^3 \). - Điều này đúng khi \( b = 0 \) hoặc \( b = 1 \). - Do đó, \( P = 0^3 + b^3 = b^3 \). - Vậy \( P = 0 \) khi \( b = 0 \) và \( P = 1 \) khi \( b = 1 \). 2. Xét điều kiện \( a > 0 \): - Ta có \( a^3 + b^4 \leq a^2 + b^3 \). - Chuyển vế ta được \( a^3 - a^2 \leq b^3 - b^4 \). - Nhân cả hai vế với \( a \) ta có \( a^4 - a^3 \leq ab^3 - ab^4 \). - Ta thấy \( a^4 - a^3 \geq 0 \) vì \( a > 0 \). - Do đó, \( ab^3 - ab^4 \geq 0 \), suy ra \( ab^3(1 - b) \geq 0 \). - Điều này đúng khi \( b = 0 \) hoặc \( b = 1 \). 3. Xét các trường hợp: - Trường hợp 1: \( b = 0 \) - Khi đó \( a^3 \leq a^2 \). - Điều này đúng khi \( a = 0 \) hoặc \( a = 1 \). - Vậy \( P = a^3 + 0^3 = a^3 \). - Suy ra \( P = 0 \) khi \( a = 0 \) và \( P = 1 \) khi \( a = 1 \). - Trường hợp 2: \( b = 1 \) - Khi đó \( a^3 + 1 \leq a^2 + 1 \). - Điều này đúng khi \( a = 0 \) hoặc \( a = 1 \). - Vậy \( P = a^3 + 1^3 = a^3 + 1 \). - Suy ra \( P = 1 \) khi \( a = 0 \) và \( P = 2 \) khi \( a = 1 \). Từ các trường hợp trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của \( P \) là 0 và giá trị lớn nhất của \( P \) là 2. Đáp số: - Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là 0, đạt được khi \( a = 0 \) và \( b = 0 \). - Giá trị lớn nhất của \( P \) là 2, đạt được khi \( a = 1 \) và \( b = 1 \).