Rút gọn phân thức $\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}$

Để rút gọn phân thức $\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn tử số $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$. Ta biết rằng: \[ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \] Bước 2: Rút gọn mẫu số $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2$. Ta biết rằng: \[ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + c^2 - 2ca + a^2 \] \[ = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \] \[ = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \] Bước 3: Thay tử số và mẫu số đã rút gọn vào phân thức ban đầu. Phân thức ban đầu là: \[ \frac{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc}{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} \] Thay tử số và mẫu số đã rút gọn: \[ \frac{(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)}{2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)} \] Bước 4: Rút gọn phân thức. Chúng ta thấy rằng $(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ là một thừa số chung ở cả tử số và mẫu số, do đó có thể rút gọn: \[ \frac{(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)}{2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)} = \frac{a+b+c}{2} \] Vậy phân thức đã được rút gọn là: \[ \frac{a+b+c}{2} \] Đáp số: $\frac{a+b+c}{2}$