Câu 20, 21

Câu 20: Để tính bán kính của chiếc đĩa cổ hình tròn, ta sẽ áp dụng Định lý Cosine và Định lý Sin trong tam giác ABC. Bước 1: Tính góc BAC bằng Định lý Cosine: \[ \cos(\angle BAC) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} \] \[ \cos(\angle BAC) = \frac{7^2 + 8^2 - 5^2}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{49 + 64 - 25}{112} = \frac{88}{112} = \frac{11}{14} \] Bước 2: Tính góc BAC: \[ \angle BAC = \arccos\left(\frac{11}{14}\right) \] Bước 3: Áp dụng Định lý Sin để tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: \[ R = \frac{BC}{2 \sin(\angle BAC)} \] Bước 4: Tính $\sin(\angle BAC)$: \[ \sin^2(\angle BAC) = 1 - \cos^2(\angle BAC) = 1 - \left(\frac{11}{14}\right)^2 = 1 - \frac{121}{196} = \frac{75}{196} \] \[ \sin(\angle BAC) = \sqrt{\frac{75}{196}} = \frac{\sqrt{75}}{14} = \frac{5\sqrt{3}}{14} \] Bước 5: Tính bán kính R: \[ R = \frac{BC}{2 \sin(\angle BAC)} = \frac{5}{2 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{14}} = \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 5\sqrt{3}} = \frac{14}{2\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3} \] Vậy bán kính của chiếc đĩa cổ là: \[ R = \frac{7\sqrt{3}}{3} \text{ cm} \] Câu 21: Để tính cường độ hợp lực tác động lên chất điểm, ta cần tìm tổng của các vectơ lực $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, và $\overrightarrow{c}$. 1. Xác định các vectơ lực: - $\overrightarrow{a}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ và có cường độ là 10 N. - $\overrightarrow{b}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AC}$ và có cường độ là 10 N. - $\overrightarrow{c}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AD}$ và có cường độ là 15 N. 2. Tìm hợp lực: - Ta sẽ tách các vectơ lực thành các thành phần theo hai chiều vuông góc với nhau (ví dụ: theo chiều AB và AD). 3. Tính thành phần của $\overrightarrow{b}$: - Vì $\overrightarrow{AC}$ là đường chéo của hình vuông, nó tạo với $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ góc 45°. - Thành phần của $\overrightarrow{b}$ theo chiều $\overrightarrow{AB}$ là: \[ b_x = 10 \cos(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ N} \] - Thành phần của $\overrightarrow{b}$ theo chiều $\overrightarrow{AD}$ là: \[ b_y = 10 \sin(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ N} \] 4. Tính tổng các thành phần: - Tổng thành phần theo chiều $\overrightarrow{AB}$: \[ F_x = a + b_x = 10 + 5\sqrt{2} \text{ N} \] - Tổng thành phần theo chiều $\overrightarrow{AD}$: \[ F_y = c + b_y = 15 + 5\sqrt{2} \text{ N} \] 5. Tính cường độ hợp lực: - Cường độ hợp lực $F$ là: \[ F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(10 + 5\sqrt{2})^2 + (15 + 5\sqrt{2})^2} \] - Ta thực hiện phép tính: \[ F_x^2 = (10 + 5\sqrt{2})^2 = 100 + 100\sqrt{2} + 50 = 150 + 100\sqrt{2} \] \[ F_y^2 = (15 + 5\sqrt{2})^2 = 225 + 150\sqrt{2} + 50 = 275 + 150\sqrt{2} \] \[ F^2 = 150 + 100\sqrt{2} + 275 + 150\sqrt{2} = 425 + 250\sqrt{2} \] \[ F = \sqrt{425 + 250\sqrt{2}} \] Vậy cường độ hợp lực tác động lên chất điểm là $\sqrt{425 + 250\sqrt{2}}$ N.