Cho tôi đáp án câu 3

Câu 3: Để các biểu thức luôn dương với mọi \( x \in \mathbb{R} \), ta cần kiểm tra điều kiện của các hệ số trong mỗi biểu thức. a. \( x^2 - 3x + m \) Biểu thức \( x^2 - 3x + m \) là một đa thức bậc hai. Để biểu thức này luôn dương với mọi \( x \in \mathbb{R} \), ta cần: - Hệ số của \( x^2 \) phải dương, tức là \( 1 > 0 \) (điều này luôn đúng). - Đạo hàm của biểu thức phải luôn dương hoặc luôn âm, và giá trị cực tiểu của biểu thức phải lớn hơn 0. Ta tính giá trị cực tiểu của biểu thức: \[ f(x) = x^2 - 3x + m \] Đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 2x - 3 \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \] Giá trị cực tiểu của \( f(x) \) tại \( x = \frac{3}{2} \): \[ f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} + m = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + m = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} + m = -\frac{9}{4} + m \] Để biểu thức luôn dương: \[ -\frac{9}{4} + m > 0 \Rightarrow m > \frac{9}{4} \] b. \( mx^2 + 4mx + m - 2 \) Biểu thức \( mx^2 + 4mx + m - 2 \) là một đa thức bậc hai. Để biểu thức này luôn dương với mọi \( x \in \mathbb{R} \), ta cần: - Hệ số của \( x^2 \) phải dương, tức là \( m > 0 \). - Đạo hàm của biểu thức phải luôn dương hoặc luôn âm, và giá trị cực tiểu của biểu thức phải lớn hơn 0. Ta tính giá trị cực tiểu của biểu thức: \[ f(x) = mx^2 + 4mx + m - 2 \] Đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 2mx + 4m \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ 2mx + 4m = 0 \Rightarrow x = -2 \] Giá trị cực tiểu của \( f(x) \) tại \( x = -2 \): \[ f(-2) = m(-2)^2 + 4m(-2) + m - 2 = 4m - 8m + m - 2 = -3m - 2 \] Để biểu thức luôn dương: \[ -3m - 2 > 0 \Rightarrow -3m > 2 \Rightarrow m < -\frac{2}{3} \] Tuy nhiên, vì \( m > 0 \) nên không có giá trị nào thỏa mãn cả hai điều kiện này. Vậy không có giá trị \( m \) nào làm cho biểu thức luôn dương với mọi \( x \in \mathbb{R} \). c. \( (m+1)x^2 - 2(m-1)x + m \) Biểu thức \( (m+1)x^2 - 2(m-1)x + m \) là một đa thức bậc hai. Để biểu thức này luôn dương với mọi \( x \in \mathbb{R} \), ta cần: - Hệ số của \( x^2 \) phải dương, tức là \( m + 1 > 0 \Rightarrow m > -1 \). - Đạo hàm của biểu thức phải luôn dương hoặc luôn âm, và giá trị cực tiểu của biểu thức phải lớn hơn 0. Ta tính giá trị cực tiểu của biểu thức: \[ f(x) = (m+1)x^2 - 2(m-1)x + m \] Đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 2(m+1)x - 2(m-1) \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ 2(m+1)x - 2(m-1) = 0 \Rightarrow x = \frac{m-1}{m+1} \] Giá trị cực tiểu của \( f(x) \) tại \( x = \frac{m-1}{m+1} \): \[ f\left(\frac{m-1}{m+1}\right) = (m+1)\left(\frac{m-1}{m+1}\right)^2 - 2(m-1)\left(\frac{m-1}{m+1}\right) + m \] \[ = (m+1)\left(\frac{(m-1)^2}{(m+1)^2}\right) - 2(m-1)\left(\frac{m-1}{m+1}\right) + m \] \[ = \frac{(m-1)^2}{m+1} - \frac{2(m-1)^2}{m+1} + m \] \[ = \frac{(m-1)^2 - 2(m-1)^2 + m(m+1)}{m+1} \] \[ = \frac{- (m-1)^2 + m(m+1)}{m+1} \] \[ = \frac{- (m^2 - 2m + 1) + m^2 + m}{m+1} \] \[ = \frac{- m^2 + 2m - 1 + m^2 + m}{m+1} \] \[ = \frac{3m - 1}{m+1} \] Để biểu thức luôn dương: \[ \frac{3m - 1}{m+1} > 0 \] Phân tích dấu của biểu thức: - \( 3m - 1 > 0 \Rightarrow m > \frac{1}{3} \) - \( m + 1 > 0 \Rightarrow m > -1 \) Vậy \( m > \frac{1}{3} \). Kết luận: a. \( m > \frac{9}{4} \) b. Không có giá trị \( m \) nào. c. \( m > \frac{1}{3} \) Câu 4: Để các biểu thức luôn âm với mọi \( x \in \mathbb{R} \), ta cần kiểm tra điều kiện của các hệ số trong mỗi biểu thức. a. Biểu thức \( -4x^2 + 2x - m \) Biểu thức này có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = -4 \), \( b = 2 \), và \( c = -m \). Để biểu thức luôn âm, ta cần: 1. Hệ số \( a < 0 \) (điều kiện đã thỏa mãn vì \( a = -4 < 0 \)). 2. \( \Delta < 0 \) (để biểu thức không có nghiệm thực và luôn âm). Tính \( \Delta \): \[ \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(-4)(-m) = 4 - 16m \] Yêu cầu \( \Delta < 0 \): \[ 4 - 16m < 0 \] \[ 4 < 16m \] \[ m > \frac{1}{4} \] Vậy, biểu thức \( -4x^2 + 2x - m \) luôn âm với mọi \( x \in \mathbb{R} \) khi \( m > \frac{1}{4} \). b. Biểu thức \( (m+1)x^2 + 4(m+1)x + 4m \) Biểu thức này có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = m+1 \), \( b = 4(m+1) \), và \( c = 4m \). Để biểu thức luôn âm, ta cần: 1. Hệ số \( a < 0 \) (điều kiện này yêu cầu \( m + 1 < 0 \), tức là \( m < -1 \)). 2. \( \Delta < 0 \) (để biểu thức không có nghiệm thực và luôn âm). Tính \( \Delta \): \[ \Delta = b^2 - 4ac = [4(m+1)]^2 - 4(m+1)(4m) = 16(m+1)^2 - 16m(m+1) \] \[ = 16[(m+1)^2 - m(m+1)] = 16[m^2 + 2m + 1 - m^2 - m] = 16(m + 1) \] Yêu cầu \( \Delta < 0 \): \[ 16(m + 1) < 0 \] \[ m + 1 < 0 \] \[ m < -1 \] Vậy, biểu thức \( (m+1)x^2 + 4(m+1)x + 4m \) luôn âm với mọi \( x \in \mathbb{R} \) khi \( m < -1 \). Kết luận: a. Biểu thức \( -4x^2 + 2x - m \) luôn âm với mọi \( x \in \mathbb{R} \) khi \( m > \frac{1}{4} \). b. Biểu thức \( (m+1)x^2 + 4(m+1)x + 4m \) luôn âm với mọi \( x \in \mathbb{R} \) khi \( m < -1 \). Câu 5: Để hàm số $y=\sqrt{2x^2-5x+3m-2}$ có tập xác định là $\mathbb R$, ta cần điều kiện là biểu thức dưới dấu căn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị của $x$. Biểu thức dưới dấu căn là $2x^2 - 5x + 3m - 2$. Ta cần tìm điều kiện của $m$ sao cho $2x^2 - 5x + 3m - 2 \geq 0$ với mọi $x$. Để một tam thức bậc hai $ax^2 + bx + c$ luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi $x$, điều kiện cần và đủ là: 1. Hệ số $a > 0$. 2. Đạo hàm của tam thức này tại đỉnh phải lớn hơn hoặc bằng 0. Trong trường hợp này, hệ số $a = 2 > 0$, nên ta chỉ cần kiểm tra điều kiện thứ hai. Ta tính delta của tam thức $2x^2 - 5x + 3m - 2$: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3m - 2) = 25 - 8(3m - 2) \] \[ \Delta = 25 - 24m + 16 = 41 - 24m \] Để tam thức luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi $x$, ta cần $\Delta \leq 0$: \[ 41 - 24m \leq 0 \] \[ 41 \leq 24m \] \[ m \geq \frac{41}{24} \] Vậy, để hàm số $y=\sqrt{2x^2-5x+3m-2}$ có tập xác định là $\mathbb R$, giá trị của $m$ phải thỏa mãn: \[ m \geq \frac{41}{24} \] Câu 6: Để hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{x^2-4x+6m-1}}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$, ta cần điều kiện là mẫu số của hàm số luôn dương với mọi giá trị của $x$. Mẫu số của hàm số là $\sqrt{x^2 - 4x + 6m - 1}$. Để mẫu số luôn dương, biểu thức dưới dấu căn phải luôn dương với mọi giá trị của $x$. Do đó, ta cần: \[ x^2 - 4x + 6m - 1 > 0 \quad \text{với mọi } x \in \mathbb{R}. \] Biểu thức $x^2 - 4x + 6m - 1$ là một tam thức bậc hai theo $x$. Để tam thức này luôn dương với mọi giá trị của $x$, ta cần: 1. Hệ số của $x^2$ phải dương (điều này đã thoả mãn vì hệ số của $x^2$ là 1). 2. Đạo hàm của tam thức phải luôn dương hoặc luôn âm, tức là tam thức không có nghiệm thực. Ta tính delta của tam thức: \[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6m - 1) = 16 - 4(6m - 1) = 16 - 24m + 4 = 20 - 24m. \] Để tam thức luôn dương, ta cần: \[ \Delta < 0. \] \[ 20 - 24m < 0. \] \[ 20 < 24m. \] \[ m > \frac{20}{24}. \] \[ m > \frac{5}{6}. \] Vậy, các giá trị của $m$ để hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{x^2-4x+6m-1}}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ là: \[ m > \frac{5}{6}. \] Đáp số: $m > \frac{5}{6}$. Câu 7: Để chứng minh phương trình $(m-1)x^2 + (3m-2)x + 3 - 2m = 0$ luôn có nghiệm với mọi giá trị của $m$, ta sẽ kiểm tra tính chất của phương trình này dựa trên các trường hợp của $m$. Trước tiên, ta xét phương trình dưới dạng tổng quát: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] Trong đó: \[ a = m - 1 \] \[ b = 3m - 2 \] \[ c = 3 - 2m \] Phương trình bậc hai luôn có nghiệm nếu và chỉ nếu $\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$. Ta sẽ tính $\Delta$: \[ \Delta = (3m - 2)^2 - 4(m - 1)(3 - 2m) \] Ta thực hiện phép nhân và trừ: \[ (3m - 2)^2 = 9m^2 - 12m + 4 \] \[ 4(m - 1)(3 - 2m) = 4[m(3 - 2m) - 1(3 - 2m)] = 4[3m - 2m^2 - 3 + 2m] = 4[-2m^2 + 5m - 3] = -8m^2 + 20m - 12 \] Do đó: \[ \Delta = 9m^2 - 12m + 4 - (-8m^2 + 20m - 12) = 9m^2 - 12m + 4 + 8m^2 - 20m + 12 = 17m^2 - 32m + 16 \] Bây giờ, ta cần kiểm tra xem $\Delta = 17m^2 - 32m + 16$ có luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị của $m$ hay không. Ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của $\Delta$ bằng cách sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương: \[ 17m^2 - 32m + 16 = 17\left(m^2 - \frac{32}{17}m\right) + 16 \] Hoàn chỉnh bình phương: \[ m^2 - \frac{32}{17}m = \left(m - \frac{16}{17}\right)^2 - \left(\frac{16}{17}\right)^2 \] Do đó: \[ 17\left(m^2 - \frac{32}{17}m\right) + 16 = 17\left[\left(m - \frac{16}{17}\right)^2 - \left(\frac{16}{17}\right)^2\right] + 16 = 17\left(m - \frac{16}{17}\right)^2 - 17\left(\frac{16}{17}\right)^2 + 16 \] \[ = 17\left(m - \frac{16}{17}\right)^2 - \frac{256}{17} + 16 = 17\left(m - \frac{16}{17}\right)^2 - \frac{256}{17} + \frac{272}{17} = 17\left(m - \frac{16}{17}\right)^2 + \frac{16}{17} \] Như vậy: \[ \Delta = 17\left(m - \frac{16}{17}\right)^2 + \frac{16}{17} \] Vì $(m - \frac{16}{17})^2 \geq 0$ với mọi giá trị của $m$, nên: \[ 17\left(m - \frac{16}{17}\right)^2 \geq 0 \] Do đó: \[ \Delta = 17\left(m - \frac{16}{17}\right)^2 + \frac{16}{17} \geq \frac{16}{17} > 0 \] Vậy $\Delta$ luôn lớn hơn 0 với mọi giá trị của $m$, suy ra phương trình $(m-1)x^2 + (3m-2)x + 3 - 2m = 0$ luôn có nghiệm với mọi giá trị của $m$. Câu 8: Để chứng minh phương trình \(x^2 - (\sqrt{3}m - 1)x + m^2 - \sqrt{3}m + 2 = 0\) luôn vô nghiệm với mọi giá trị của \(m\), ta sẽ kiểm tra tính chất của phương trình này thông qua hệ số và tiêu chuẩn của phương trình bậc hai. Phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \(b^2 - 4ac \geq 0\). Ta sẽ tính \(b^2 - 4ac\) của phương trình đã cho. Trong phương trình \(x^2 - (\sqrt{3}m - 1)x + m^2 - \sqrt{3}m + 2 = 0\): - \(a = 1\) - \(b = -(\sqrt{3}m - 1)\) - \(c = m^2 - \sqrt{3}m + 2\) Ta tính \(b^2 - 4ac\): \[ b^2 = [-(\sqrt{3}m - 1)]^2 = (\sqrt{3}m - 1)^2 = 3m^2 - 2\sqrt{3}m + 1 \] \[ 4ac = 4 \cdot 1 \cdot (m^2 - \sqrt{3}m + 2) = 4(m^2 - \sqrt{3}m + 2) = 4m^2 - 4\sqrt{3}m + 8 \] Do đó: \[ b^2 - 4ac = (3m^2 - 2\sqrt{3}m + 1) - (4m^2 - 4\sqrt{3}m + 8) \] \[ = 3m^2 - 2\sqrt{3}m + 1 - 4m^2 + 4\sqrt{3}m - 8 \] \[ = -m^2 + 2\sqrt{3}m - 7 \] Ta cần kiểm tra xem biểu thức \(-m^2 + 2\sqrt{3}m - 7\) có thể lớn hơn hoặc bằng 0 hay không. Ta sẽ hoàn thành bình phương để dễ dàng hơn: \[ -m^2 + 2\sqrt{3}m - 7 = -(m^2 - 2\sqrt{3}m + 7) \] Ta thấy rằng: \[ m^2 - 2\sqrt{3}m + 7 = (m - \sqrt{3})^2 + 4 \] Vì \((m - \sqrt{3})^2 \geq 0\) với mọi \(m\), nên: \[ (m - \sqrt{3})^2 + 4 \geq 4 > 0 \] Do đó: \[ -(m^2 - 2\sqrt{3}m + 7) < 0 \] Như vậy, \(b^2 - 4ac < 0\) với mọi giá trị của \(m\). Điều này chứng tỏ phương trình \(x^2 - (\sqrt{3}m - 1)x + m^2 - \sqrt{3}m + 2 = 0\) luôn vô nghiệm với mọi giá trị của \(m\). Đáp số: Phương trình luôn vô nghiệm với mọi giá trị của \(m\). Câu 9: Để tìm các nghiệm nguyên của bất phương trình \(0 < \frac{3x^2 - 4x + 1}{x^2 + x + 1} < 2\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phân thức \(\frac{3x^2 - 4x + 1}{x^2 + x + 1}\) có mẫu số là \(x^2 + x + 1\). Ta cần kiểm tra xem mẫu số này có thể bằng 0 hay không: \[ x^2 + x + 1 = 0 \] Ta tính \(\Delta\) của phương trình bậc hai này: \[ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 \] Vì \(\Delta < 0\), phương trình \(x^2 + x + 1 = 0\) vô nghiệm. Do đó, mẫu số \(x^2 + x + 1\) luôn dương và không bằng 0 với mọi giá trị của \(x\). Bước 2: Giải bất phương trình \(0 < \frac{3x^2 - 4x + 1}{x^2 + x + 1}\) Bất phương trình này tương đương với: \[ 3x^2 - 4x + 1 > 0 \] Ta giải phương trình bậc hai \(3x^2 - 4x + 1 = 0\): \[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \] \[ x_1 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{4 + 2}{6} = 1 \] Do đó, \(3x^2 - 4x + 1 > 0\) khi \(x < \frac{1}{3}\) hoặc \(x > 1\). Bước 3: Giải bất phương trình \(\frac{3x^2 - 4x + 1}{x^2 + x + 1} < 2\) Bất phương trình này tương đương với: \[ 3x^2 - 4x + 1 < 2(x^2 + x + 1) \] \[ 3x^2 - 4x + 1 < 2x^2 + 2x + 2 \] \[ x^2 - 6x - 1 < 0 \] Ta giải phương trình bậc hai \(x^2 - 6x - 1 = 0\): \[ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40 \] \[ x_1 = \frac{6 - \sqrt{40}}{2} = 3 - \sqrt{10} \] \[ x_2 = \frac{6 + \sqrt{40}}{2} = 3 + \sqrt{10} \] Do đó, \(x^2 - 6x - 1 < 0\) khi \(3 - \sqrt{10} < x < 3 + \sqrt{10}\). Bước 4: Kết hợp các điều kiện Chúng ta cần tìm các giá trị \(x\) thỏa mãn cả hai điều kiện: \[ x < \frac{1}{3} \text{ hoặc } x > 1 \] \[ 3 - \sqrt{10} < x < 3 + \sqrt{10} \] Ta thấy rằng \(3 - \sqrt{10} \approx -0.162\) và \(3 + \sqrt{10} \approx 6.162\). Do đó, các giá trị \(x\) thỏa mãn là: \[ 1 < x < 3 + \sqrt{10} \] Bước 5: Tìm các nghiệm nguyên Các giá trị nguyên trong khoảng \(1 < x < 3 + \sqrt{10}\) là \(x = 2, 3, 4, 5, 6\). Đáp số Các nghiệm nguyên của bất phương trình là: \[ x = 2, 3, 4, 5, 6 \] Câu 10: Để hệ bất phương trình có nghiệm, ta cần tìm điều kiện của \(a\) sao cho cả hai bất phương trình đều có nghiệm chung. Bước 1: Giải bất phương trình \(x^2 - 6x + 5 \leq 0\). Phương trình \(x^2 - 6x + 5 = 0\) có các nghiệm: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2} \] \[ x = 5 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] Do đó, bất phương trình \(x^2 - 6x + 5 \leq 0\) có nghiệm trong khoảng: \[ 1 \leq x \leq 5 \] Bước 2: Giải bất phương trình \(x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 1 \leq 0\). Phương trình \(x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 1 = 0\) có các nghiệm: \[ x = \frac{2(a+1) \pm \sqrt{4(a+1)^2 - 4(a^2 + 1)}}{2} \] \[ x = \frac{2(a+1) \pm \sqrt{4a^2 + 8a + 4 - 4a^2 - 4}}{2} \] \[ x = \frac{2(a+1) \pm \sqrt{8a}}{2} \] \[ x = (a+1) \pm \sqrt{2a} \] Do đó, bất phương trình \(x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 1 \leq 0\) có nghiệm trong khoảng: \[ (a+1) - \sqrt{2a} \leq x \leq (a+1) + \sqrt{2a} \] Bước 3: Để hệ bất phương trình có nghiệm, khoảng nghiệm của bất phương trình thứ hai phải giao với khoảng nghiệm của bất phương trình thứ nhất. Do đó, ta cần: \[ 1 \leq (a+1) - \sqrt{2a} \quad \text{và} \quad (a+1) + \sqrt{2a} \leq 5 \] Từ \(1 \leq (a+1) - \sqrt{2a}\): \[ 1 \leq a + 1 - \sqrt{2a} \] \[ 0 \leq a - \sqrt{2a} \] \[ \sqrt{2a} \leq a \] \[ 2a \leq a^2 \] \[ a^2 - 2a \geq 0 \] \[ a(a - 2) \geq 0 \] \[ a \leq 0 \quad \text{hoặc} \quad a \geq 2 \] Từ \((a+1) + \sqrt{2a} \leq 5\): \[ a + 1 + \sqrt{2a} \leq 5 \] \[ a + \sqrt{2a} \leq 4 \] \[ \sqrt{2a} \leq 4 - a \] \[ 2a \leq (4 - a)^2 \] \[ 2a \leq 16 - 8a + a^2 \] \[ a^2 - 10a + 16 \geq 0 \] \[ (a - 2)(a - 8) \geq 0 \] \[ a \leq 2 \quad \text{hoặc} \quad a \geq 8 \] Kết hợp các điều kiện, ta có: \[ a \leq 0 \quad \text{hoặc} \quad a = 2 \quad \text{hoặc} \quad a \geq 8 \] Vậy, giá trị của \(a\) để hệ bất phương trình có nghiệm là: \[ a \leq 0 \quad \text{hoặc} \quad a = 2 \quad \text{hoặc} \quad a \geq 8 \]