giúp mình với

Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình. 2. Áp dụng công thức Viète để tìm \(x_1 + x_2\) và \(x_1 x_2\). 3. Biểu diễn \(A\) theo \(x_1\) và \(x_2\). 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A\). Bước 1: Điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình \(x^2 - mx + m - 1 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi: \[ \Delta = m^2 - 4(m - 1) \geq 0 \] \[ \Delta = m^2 - 4m + 4 \geq 0 \] \[ \Delta = (m - 2)^2 \geq 0 \] Luôn đúng vì \((m - 2)^2 \geq 0\) với mọi \(m\). Vậy ĐKXĐ là \(m \in \mathbb{R}\). Bước 2: Áp dụng công thức Viète Theo công thức Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = m \] \[ x_1 x_2 = m - 1 \] Bước 3: Biểu diễn \(A\) theo \(x_1\) và \(x_2\) Ta có: \[ A = \frac{4x_1 x_2 + 6}{x_1^2 + x_2^2 + 2(1 + x_1 x_2)} \] Biến đổi mẫu số: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = m^2 - 2(m - 1) \] \[ x_1^2 + x_2^2 = m^2 - 2m + 2 \] Thay vào biểu thức của \(A\): \[ A = \frac{4(m - 1) + 6}{m^2 - 2m + 2 + 2(1 + m - 1)} \] \[ A = \frac{4m - 4 + 6}{m^2 - 2m + 2 + 2m} \] \[ A = \frac{4m + 2}{m^2 + 2} \] Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A\) Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(A\), ta xét biểu thức: \[ A = \frac{4m + 2}{m^2 + 2} \] Ta thấy rằng \(A\) là một hàm phân thức bậc nhất chia cho bậc hai. Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi đại số hoặc khảo sát hàm số. Khảo sát hàm số \(f(m) = \frac{4m + 2}{m^2 + 2}\): - Tính đạo hàm \(f'(m)\): \[ f'(m) = \frac{(4)(m^2 + 2) - (4m + 2)(2m)}{(m^2 + 2)^2} \] \[ f'(m) = \frac{4m^2 + 8 - 8m^2 - 4m}{(m^2 + 2)^2} \] \[ f'(m) = \frac{-4m^2 - 4m + 8}{(m^2 + 2)^2} \] \[ f'(m) = \frac{-4(m^2 + m - 2)}{(m^2 + 2)^2} \] Tìm điểm cực trị: \[ f'(m) = 0 \Rightarrow -4(m^2 + m - 2) = 0 \] \[ m^2 + m - 2 = 0 \] \[ (m + 2)(m - 1) = 0 \] \[ m = -2 \text{ hoặc } m = 1 \] Kiểm tra giá trị của \(A\) tại các điểm cực trị: - Khi \(m = -2\): \[ A = \frac{4(-2) + 2}{(-2)^2 + 2} = \frac{-8 + 2}{4 + 2} = \frac{-6}{6} = -1 \] - Khi \(m = 1\): \[ A = \frac{4(1) + 2}{1^2 + 2} = \frac{4 + 2}{1 + 2} = \frac{6}{3} = 2 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(-1\), đạt được khi \(m = -2\). Đáp số: \(m = -2\). Câu 3. Điều kiện: $x \geq \frac{1}{4}$ Phương trình đã cho tương đương với: $\sqrt{4x^2+5x+1}+\sqrt{x^2-x+1}=3(3x-1)+\sqrt{x^2-x+1}$ $\sqrt{4x^2+5x+1}-(3x-1)=2\sqrt{x^2-x+1}+(3x-1)$ $(\sqrt{4x^2+5x+1}-(3x-1))(\sqrt{4x^2+5x+1}+(3x-1))=(2\sqrt{x^2-x+1}+(3x-1))(\sqrt{4x^2+5x+1}+(3x-1))$ $9x+2=2\sqrt{x^2-x+1}(\sqrt{4x^2+5x+1}+(3x-1))+(3x-1)(\sqrt{4x^2+5x+1}+(3x-1))$ $9x+2=(2\sqrt{x^2-x+1}+(3x-1))(\sqrt{4x^2+5x+1}+(3x-1))$ Nhận thấy $2\sqrt{x^2-x+1}+(3x-1) > 0$ với mọi $x \geq \frac{1}{4}$ Suy ra $\sqrt{4x^2+5x+1}+(3x-1) > 0$ Do đó ta có: $9x+2>0$ $x > -\frac{2}{9}$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x > -\frac{2}{9}$