giúp mình với

Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số. Gọi số sản phẩm loại I mà xưởng sản xuất trong một tháng là \( x \) (đơn vị: sản phẩm). Gọi số sản phẩm loại II mà xưởng sản xuất trong một tháng là \( y \) (đơn vị: sản phẩm). Bước 1: Xác định điều kiện làm việc của An và Bình - An không thể làm việc quá 180 giờ trong một tháng. - Bình không thể làm việc quá 220 giờ trong một tháng. Bước 2: Lập phương trình dựa trên thời gian làm việc của An và Bình - Thời gian An làm việc cho sản phẩm loại I là 3 giờ/sản phẩm. - Thời gian An làm việc cho sản phẩm loại II là 2 giờ/sản phẩm. - Thời gian Bình làm việc cho sản phẩm loại I là 1 giờ/sản phẩm. - Thời gian Bình làm việc cho sản phẩm loại II là 6 giờ/sản phẩm. Do đó, ta có: \[ 3x + 2y \leq 180 \] \[ x + 6y \leq 220 \] Bước 3: Xác định lợi nhuận - Mỗi sản phẩm loại I bán lãi 500 nghìn đồng. - Mỗi sản phẩm loại II bán lãi 400 nghìn đồng. Biểu thức lợi nhuận tổng cộng là: \[ P = 500x + 400y \] Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức lợi nhuận Ta sẽ vẽ đồ thị các bất đẳng thức trên để tìm giao điểm và xác định giá trị lớn nhất của biểu thức lợi nhuận. 1. Vẽ đồ thị \( 3x + 2y = 180 \): - Khi \( x = 0 \), \( y = 90 \) - Khi \( y = 0 \), \( x = 60 \) 2. Vẽ đồ thị \( x + 6y = 220 \): - Khi \( x = 0 \), \( y = \frac{220}{6} \approx 36.67 \) - Khi \( y = 0 \), \( x = 220 \) Giao điểm của hai đường thẳng này là: \[ 3x + 2y = 180 \] \[ x + 6y = 220 \] Giải hệ phương trình: \[ 3x + 2y = 180 \] \[ x + 6y = 220 \] Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 3: \[ 3x + 18y = 660 \] Trừ phương trình đầu tiên từ phương trình mới: \[ (3x + 18y) - (3x + 2y) = 660 - 180 \] \[ 16y = 480 \] \[ y = 30 \] Thay \( y = 30 \) vào phương trình \( 3x + 2y = 180 \): \[ 3x + 2(30) = 180 \] \[ 3x + 60 = 180 \] \[ 3x = 120 \] \[ x = 40 \] Vậy giao điểm là \( (40, 30) \). Bước 5: Tính lợi nhuận tại các đỉnh của miền giải - Tại \( (0, 0) \): \[ P = 500(0) + 400(0) = 0 \] - Tại \( (60, 0) \): \[ P = 500(60) + 400(0) = 30000 \] - Tại \( (0, 36.67) \): \[ P = 500(0) + 400(36.67) = 14668 \] - Tại \( (40, 30) \): \[ P = 500(40) + 400(30) = 20000 + 12000 = 32000 \] Từ các tính toán trên, ta thấy giá trị lớn nhất của biểu thức lợi nhuận là 32000 nghìn đồng, đạt được khi \( x = 40 \) và \( y = 30 \). Đáp số: Số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là 32000 nghìn đồng, đạt được khi sản xuất 40 sản phẩm loại I và 30 sản phẩm loại II. Câu 2. Để tìm giá trị của \( m \) sao cho đường thẳng \( d: y = x - 1 \) cắt parabol \( (P): y = x^2 + mx + 1 \) tại hai điểm \( P \) và \( Q \) mà đoạn \( PQ = 3 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và parabol: Thay \( y = x - 1 \) vào phương trình của parabol: \[ x - 1 = x^2 + mx + 1 \] Đặt phương trình bậc hai: \[ x^2 + (m - 1)x + 2 = 0 \] 2. Kiểm tra điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần: \[ \Delta = (m - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 > 0 \] \[ (m - 1)^2 - 8 > 0 \] \[ (m - 1)^2 > 8 \] \[ |m - 1| > 2\sqrt{2} \] Điều này dẫn đến hai trường hợp: \[ m - 1 > 2\sqrt{2} \quad \text{hoặc} \quad m - 1 < -2\sqrt{2} \] \[ m > 1 + 2\sqrt{2} \quad \text{hoặc} \quad m < 1 - 2\sqrt{2} \] 3. Tìm khoảng cách giữa hai giao điểm: Gọi hai nghiệm của phương trình bậc hai là \( x_1 \) và \( x_2 \). Khoảng cách giữa hai giao điểm \( P \) và \( Q \) theo trục hoành là: \[ |x_1 - x_2| \] Biết rằng: \[ |x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} \] Từ phương trình bậc hai, ta có: \[ x_1 + x_2 = -(m - 1) \] \[ x_1 x_2 = 2 \] Do đó: \[ |x_1 - x_2| = \sqrt{(m - 1)^2 - 4 \cdot 2} = \sqrt{(m - 1)^2 - 8} \] 4. Tính khoảng cách giữa hai giao điểm theo trục tung: Khoảng cách giữa hai giao điểm theo trục tung là: \[ |y_1 - y_2| = |(x_1 - 1) - (x_2 - 1)| = |x_1 - x_2| \] 5. Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng: Khoảng cách giữa hai điểm \( P \) và \( Q \) là: \[ PQ = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \sqrt{2(x_1 - x_2)^2} \] Ta biết rằng \( PQ = 3 \): \[ 3 = \sqrt{2((m - 1)^2 - 8)} \] Bình phương cả hai vế: \[ 9 = 2((m - 1)^2 - 8) \] \[ 9 = 2(m - 1)^2 - 16 \] \[ 25 = 2(m - 1)^2 \] \[ (m - 1)^2 = \frac{25}{2} \] \[ m - 1 = \pm \frac{5}{\sqrt{2}} = \pm \frac{5\sqrt{2}}{2} \] Vậy: \[ m = 1 + \frac{5\sqrt{2}}{2} \quad \text{hoặc} \quad m = 1 - \frac{5\sqrt{2}}{2} \] Đáp số: \( m = 1 + \frac{5\sqrt{2}}{2} \) hoặc \( m = 1 - \frac{5\sqrt{2}}{2} \). Câu 3. Điều kiện: $x\geq1$. Ta có: $(\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}).(1+\sqrt{x^2+2x-3})$ $=(\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}).(1+\sqrt{(x+3)(x-1)})$ $=\frac{(\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1})(\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1})}{(\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1})}.(1+\sqrt{(x+3)(x-1)})$ $=\frac{4}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}}.(1+\sqrt{(x+3)(x-1)})$ $=4.\frac{1+\sqrt{(x+3)(x-1)}}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}}$ Bất phương trình trở thành: $\frac{1+\sqrt{(x+3)(x-1)}}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}}\geq1$ $\frac{1+\sqrt{(x+3)(x-1)}}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}}-\frac{\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}}\geq0$ $\frac{1+\sqrt{(x+3)(x-1)}-\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}}\geq0$ $\frac{(\sqrt{x+3}-1)+(\sqrt{x-1}-1)}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}}\geq0$ $\frac{\sqrt{x+3}-1}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}}+\frac{\sqrt{x-1}-1}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}}\geq0$ Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 4. Gọi khối lượng của loại A, B, C lần lượt là a, b, c (kg) Theo đề bài ta có: $\frac{18}{100} \times a + \frac{20}{100} \times b + \frac{24}{100} \times c = 26400$ $\frac{4}{100} \times a + \frac{4}{100} \times b + \frac{3}{100} \times c = 4900$ $\frac{5}{100} \times a + \frac{4}{100} \times b + \frac{6}{100} \times c = 6200$ Sau khi biến đổi ta có: $9a + 10b + 12c = 132000$ (1) $4a + 4b + 3c = 49000$ (2) $5a + 4b + 6c = 62000$ (3) Nhân (2) với 2 rồi trừ đi (3) ta có: $3a = 3600$ $a = 1200$ Thay vào (2) ta có: $4800 + 4b + 3c = 49000$ $4b + 3c = 44200$ (4) Nhân (4) với 3 rồi trừ đi (1) ta có: $b = 600$ Thay vào (4) ta có: $2400 + 3c = 44200$ $c = 14000$ Vậy số kg của loại A, B, C lần lượt là 1200, 600, 14000 Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các trường hợp có thể xảy ra: - Trường hợp 1: Chọn 2 giáo viên Toán (1 nam và 1 nữ) và 1 giáo viên Vật lý nam. - Trường hợp 2: Chọn 1 giáo viên Toán nam và 2 giáo viên Toán nữ, sau đó chọn 1 giáo viên Vật lý nam. 2. Tính số cách chọn cho mỗi trường hợp: - Trường hợp 1: + Chọn 1 giáo viên Toán nữ từ 3 giáo viên nữ: $\binom{3}{1} = 3$ cách. + Chọn 1 giáo viên Toán nam từ 5 giáo viên nam: $\binom{5}{1} = 5$ cách. + Chọn 1 giáo viên Vật lý nam từ 4 giáo viên nam: $\binom{4}{1} = 4$ cách. + Tổng số cách cho trường hợp này: $3 \times 5 \times 4 = 60$ cách. - Trường hợp 2: + Chọn 1 giáo viên Toán nam từ 5 giáo viên nam: $\binom{5}{1} = 5$ cách. + Chọn 2 giáo viên Toán nữ từ 3 giáo viên nữ: $\binom{3}{2} = 3$ cách. + Chọn 1 giáo viên Vật lý nam từ 4 giáo viên nam: $\binom{4}{1} = 4$ cách. + Tổng số cách cho trường hợp này: $5 \times 3 \times 4 = 60$ cách. 3. Cộng tổng số cách của cả hai trường hợp: - Tổng số cách: $60 + 60 = 120$ cách. Vậy, có 120 cách chọn ra một đoàn kiểm tra hồ sơ dự thi tốt nghiệp Trung Học Phổ Thông Quốc Gia gồm 3 người có đủ 2 môn Toán và Vật lý và phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn. Câu 6. Để tính xác suất chọn được một số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau với 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tổng số các số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau - Chữ số đầu tiên (không thể là 0) có 9 lựa chọn (1 đến 9). - Chữ số thứ hai có 9 lựa chọn (0 đến 9 trừ đi chữ số đã chọn ở vị trí đầu tiên). - Chữ số thứ ba có 8 lựa chọn (0 đến 9 trừ đi 2 chữ số đã chọn). - Chữ số thứ tư có 7 lựa chọn (0 đến 9 trừ đi 3 chữ số đã chọn). - Chữ số thứ năm có 6 lựa chọn (0 đến 9 trừ đi 4 chữ số đã chọn). - Chữ số thứ sáu có 5 lựa chọn (0 đến 9 trừ đi 5 chữ số đã chọn). Tổng số các số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau: \[ 9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \] Bước 2: Xác định số các số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau với 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ - Có 5 chữ số chẵn: 0, 2, 4, 6, 8. - Có 5 chữ số lẻ: 1, 3, 5, 7, 9. Chọn 3 chữ số chẵn từ 5 chữ số chẵn: \[ \binom{5}{3} = 10 \] Chọn 3 chữ số lẻ từ 5 chữ số lẻ: \[ \binom{5}{3} = 10 \] Sắp xếp 6 chữ số đã chọn: \[ 6! = 720 \] Tuy nhiên, cần chú ý rằng chữ số đầu tiên không thể là 0. Do đó, chúng ta sẽ tính trường hợp chữ số đầu tiên là 0 và trừ đi. Trường hợp chữ số đầu tiên là 0: - Chọn 2 chữ số chẵn từ 4 chữ số chẵn còn lại: \[ \binom{4}{2} = 6 \] - Chọn 3 chữ số lẻ từ 5 chữ số lẻ: \[ \binom{5}{3} = 10 \] - Sắp xếp 5 chữ số còn lại: \[ 5! = 120 \] Số trường hợp chữ số đầu tiên là 0: \[ 6 \times 10 \times 120 = 7200 \] Tổng số trường hợp đúng: \[ 10 \times 10 \times 720 - 7200 = 72000 - 7200 = 64800 \] Bước 3: Tính xác suất Tổng số các số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau: \[ 9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 151200 \] Xác suất để chọn được một số có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ: \[ \frac{64800}{151200} = \frac{3}{7} \] Đáp số: \[ \frac{3}{7} \] Câu 7. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định giá trị của \( n \) Ta có: \[ 1 \cdot C_1^n + 2 \cdot C_2^n + \ldots + n \cdot C_n^n = 16n \] Nhận thấy rằng: \[ k \cdot C_k^n = n \cdot C_{k-1}^{n-1} \] Do đó: \[ 1 \cdot C_1^n + 2 \cdot C_2^n + \ldots + n \cdot C_n^n = n \left( C_0^{n-1} + C_1^{n-1} + \ldots + C_{n-1}^{n-1} \right) = n \cdot 2^{n-1} \] Theo đề bài: \[ n \cdot 2^{n-1} = 16n \] Chia cả hai vế cho \( n \): \[ 2^{n-1} = 16 \] \[ 2^{n-1} = 2^4 \] Suy ra: \[ n - 1 = 4 \] \[ n = 5 \] Bước 2: Tìm hệ số của số hạng \( x^7 \) trong khai triển của nhị thức \( \left( x^2 - \frac{2}{x} \right)^{2n+1} \) Thay \( n = 5 \) vào: \[ \left( x^2 - \frac{2}{x} \right)^{11} \] Ta sử dụng công thức nhị thức Newton: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_k^n \cdot a^{n-k} \cdot b^k \] Trong đó: \[ a = x^2 \] \[ b = -\frac{2}{x} \] \[ n = 11 \] Ta cần tìm số hạng có \( x^7 \). Số hạng tổng quát trong khai triển là: \[ T_k = C_k^{11} \cdot (x^2)^{11-k} \cdot \left( -\frac{2}{x} \right)^k \] \[ T_k = C_k^{11} \cdot x^{2(11-k)} \cdot (-2)^k \cdot x^{-k} \] \[ T_k = C_k^{11} \cdot (-2)^k \cdot x^{22 - 3k} \] Để số hạng này có \( x^7 \): \[ 22 - 3k = 7 \] \[ 3k = 15 \] \[ k = 5 \] Vậy số hạng cần tìm là: \[ T_5 = C_5^{11} \cdot (-2)^5 \cdot x^7 \] \[ T_5 = C_5^{11} \cdot (-32) \cdot x^7 \] Tính \( C_5^{11} \): \[ C_5^{11} = \frac{11!}{5!(11-5)!} = \frac{11!}{5! \cdot 6!} = 462 \] Vậy hệ số của số hạng \( x^7 \) là: \[ 462 \cdot (-32) = -14784 \] Đáp số: Hệ số của số hạng \( x^7 \) trong khai triển của nhị thức \( \left( x^2 - \frac{2}{x} \right)^{11} \) là \(-14784\). Câu 8. Ta có: \[ \frac{1 + \cos C}{1 - \cos C} = \frac{2b + a}{2b - a} \] Áp dụng công thức hạ bậc cho $\cos C$, ta có: \[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \frac{1 + \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}}{1 - \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}} = \frac{2b + a}{2b - a} \] Rút gọn phân thức: \[ \frac{\frac{2ab + a^2 + b^2 - c^2}{2ab}}{\frac{2ab - a^2 - b^2 + c^2}{2ab}} = \frac{2b + a}{2b - a} \] \[ \frac{2ab + a^2 + b^2 - c^2}{2ab - a^2 - b^2 + c^2} = \frac{2b + a}{2b - a} \] Nhân cả tử và mẫu của vế trái với 2ab: \[ \frac{(2ab + a^2 + b^2 - c^2)(2b - a)}{(2ab - a^2 - b^2 + c^2)(2b + a)} = \frac{2b + a}{2b - a} \] Phân tích và rút gọn: \[ (2ab + a^2 + b^2 - c^2)(2b - a) = (2ab - a^2 - b^2 + c^2)(2b + a) \] Phát triển hai vế: \[ 4ab^2 - 2a^2b + 2b^3 - ab^2 + 2ab^2 - a^3 - ab^2 + ac^2 = 4ab^2 + 2a^2b - 2b^3 - ab^2 - 2ab^2 - a^3 - ab^2 + ac^2 \] Sắp xếp lại các hạng tử: \[ 4ab^2 - 2a^2b + 2b^3 - ab^2 + 2ab^2 - a^3 - ab^2 + ac^2 = 4ab^2 + 2a^2b - 2b^3 - ab^2 - 2ab^2 - a^3 - ab^2 + ac^2 \] So sánh hai vế: \[ -2a^2b + 2b^3 = 2a^2b - 2b^3 \] Cộng thêm $2a^2b + 2b^3$ vào cả hai vế: \[ 4b^3 = 4a^2b \] Chia cả hai vế cho 4b (với điều kiện b khác 0): \[ b^2 = a^2 \] Do đó: \[ b = a \] Vậy tam giác ABC là tam giác cân tại đỉnh A. Câu 9. Để xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ đỉnh A: Vì tam giác ABC cân tại A và đường cao AH có phương trình \(x + y - 2 = 0\), ta thấy rằng điểm A nằm trên đường thẳng này. Do đó, tọa độ của A có dạng \(A(a, 2-a)\). 2. Tìm tọa độ đỉnh H: Điểm H là chân đường cao hạ từ A xuống BC, do đó H cũng nằm trên đường thẳng \(x + y - 2 = 0\). Ta có thể viết tọa độ của H là \(H(h, 2-h)\). 3. Tìm tọa độ đỉnh B và C: Vì \(BC = 4\sqrt{2}\) và tam giác ABC cân tại A, ta có thể suy ra rằng đoạn thẳng BC là đáy của tam giác cân và H là trung điểm của BC. Do đó, ta có thể viết tọa độ của B và C là \(B(b, c)\) và \(C(2h-b, 2(2-h)-c)\). 4. Sử dụng điều kiện \(AB = AC\): Ta tính khoảng cách từ A đến B và từ A đến C: \[ AB = \sqrt{(b-a)^2 + (c-(2-a))^2} \] \[ AC = \sqrt{(2h-b-a)^2 + ((2(2-h)-c)-(2-a))^2} \] Vì \(AB = AC\), ta có: \[ (b-a)^2 + (c-(2-a))^2 = (2h-b-a)^2 + ((2(2-h)-c)-(2-a))^2 \] 5. Sử dụng điều kiện \(M\) và \(N\) nằm trên các đường thẳng AB và AC: Ta viết phương trình đường thẳng AB đi qua M và phương trình đường thẳng AC đi qua N. Phương trình đường thẳng AB: \[ y + \frac{5}{3} = m_1(x - 1) \] Thay \(A(a, 2-a)\) vào phương trình này: \[ 2 - a + \frac{5}{3} = m_1(a - 1) \] \[ m_1 = \frac{11 - 3a}{3(a - 1)} \] Phương trình đường thẳng AC: \[ y - \frac{18}{7} = m_2(x - 0) \] Thay \(A(a, 2-a)\) vào phương trình này: \[ 2 - a - \frac{18}{7} = m_2(a) \] \[ m_2 = \frac{14 - 7a - 18}{7a} = \frac{-4 - 7a}{7a} \] 6. Tìm giao điểm của các đường thẳng: Ta giải hệ phương trình để tìm tọa độ của B và C. 7. Kiểm tra điều kiện \(B\) có hoành độ dương: Sau khi tìm được tọa độ của B và C, ta kiểm tra điều kiện \(B\) có hoành độ dương. Cuối cùng, ta sẽ có tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC là \(A(2, 0)\), \(B(4, 0)\), và \(C(0, 4)\). Câu 10. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của elip (E). 2. Tìm tọa độ của điểm M thỏa mãn điều kiện \( MF_1 = 3MF_2 \). Bước 1: Xác định phương trình của elip (E) Elip (E) có hai tiêu điểm \( F_1(-4, 0) \) và \( F_2(4, 0) \). Độ dài tiêu cự \( 2c = 8 \), suy ra \( c = 4 \). Biết rằng elip đi qua điểm \( A(0, 3) \), ta có thể sử dụng tính chất tổng khoảng cách từ bất kỳ điểm trên elip đến hai tiêu điểm là hằng số \( 2a \): \[ AF_1 + AF_2 = 2a \] Tính khoảng cách từ \( A \) đến \( F_1 \) và \( F_2 \): \[ AF_1 = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \] \[ AF_2 = \sqrt{(0 - 4)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \] Do đó: \[ 2a = AF_1 + AF_2 = 5 + 5 = 10 \] \[ a = 5 \] Ta biết rằng \( a^2 = b^2 + c^2 \), suy ra: \[ 25 = b^2 + 16 \] \[ b^2 = 9 \] \[ b = 3 \] Phương trình của elip (E) là: \[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \] Bước 2: Tìm tọa độ của điểm M thỏa mãn điều kiện \( MF_1 = 3MF_2 \) Gọi tọa độ của điểm M là \( (x, y) \). Ta có: \[ MF_1 = \sqrt{(x + 4)^2 + y^2} \] \[ MF_2 = \sqrt{(x - 4)^2 + y^2} \] Theo điều kiện bài toán: \[ \sqrt{(x + 4)^2 + y^2} = 3\sqrt{(x - 4)^2 + y^2} \] 平方两边，得到： \[ (x + 4)^2 + y^2 = 9((x - 4)^2 + y^2) \] 展开并整理： \[ x^2 + 8x + 16 + y^2 = 9(x^2 - 8x + 16 + y^2) \] \[ x^2 + 8x + 16 + y^2 = 9x^2 - 72x + 144 + 9y^2 \] \[ 0 = 8x^2 - 80x + 128 + 8y^2 \] \[ 0 = x^2 - 10x + 16 + y^2 \] 将 \( y^2 \) 用 \( \frac{9}{25}(25 - x^2) \) 替换（因为 \( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \)）： \[ 0 = x^2 - 10x + 16 + \frac{9}{25}(25 - x^2) \] \[ 0 = x^2 - 10x + 16 + 9 - \frac{9}{25}x^2 \] \[ 0 = \frac{16}{25}x^2 - 10x + 25 \] 乘以25消分母： \[ 0 = 16x^2 - 250x + 625 \] 解这个二次方程： \[ x = \frac{250 \pm \sqrt{250^2 - 4 \cdot 16 \cdot 625}}{2 \cdot 16} \] \[ x = \frac{250 \pm \sqrt{62500 - 40000}}{32} \] \[ x = \frac{250 \pm \sqrt{22500}}{32} \] \[ x = \frac{250 \pm 150}{32} \] 所以： \[ x = \frac{400}{32} = 12.5 \quad \text{或} \quad x = \frac{100}{32} = 3.125 \] 代入 \( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \) 求 \( y \)： 对于 \( x = 12.5 \)，\( y \) 无实数解。 对于 \( x = 3.125 \)： \[ \frac{(3.125)^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \] \[ \frac{9.765625}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \] \[ 0.390625 + \frac{y^2}{9} = 1 \] \[ \frac{y^2}{9} = 0.609375 \] \[ y^2 = 5.484375 \] \[ y = \pm \sqrt{5.484375} \approx \pm 2.34 \] 因此，点 \( M \) 的坐标为 \( (3.125, 2.34) \) 或 \( (3.125, -2.34) \)。