Giúp em 3 bài này với ạ

Câu 3. Để tính độ dài của sợi dây, ta áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông OAB, trong đó OA là chiều cao của tháp, OB là khoảng cách từ chân tháp đến điểm hạ sợi dây, và AB là độ dài của sợi dây. Bước 1: Xác định các cạnh của tam giác vuông: - Chiều cao của tháp (OA) là 100 m. - Khoảng cách từ chân tháp đến điểm hạ sợi dây (OB) là 60 m. Bước 2: Áp dụng định lý Pythagoras: \[ AB^2 = OA^2 + OB^2 \] Bước 3: Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ AB^2 = 100^2 + 60^2 \] \[ AB^2 = 10000 + 3600 \] \[ AB^2 = 13600 \] Bước 4: Tính độ dài của sợi dây (AB): \[ AB = \sqrt{13600} \] \[ AB \approx 116.62 \text{ m} \] Bước 5: Làm tròn kết quả tới hàng đơn vị: \[ AB \approx 117 \text{ m} \] Vậy độ dài của sợi dây là 117 mét. Câu 4. Để tính $F(1)$, trước tiên chúng ta cần tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \cos x + (x - 2)(3x + 4)$. Bước 1: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần trong $f(x)$. - Nguyên hàm của $\cos x$ là $\sin x$. - Nguyên hàm của $(x - 2)(3x + 4)$: \[ (x - 2)(3x + 4) = 3x^2 + 4x - 6x - 8 = 3x^2 - 2x - 8 \] Nguyên hàm của $3x^2 - 2x - 8$ là: \[ \int (3x^2 - 2x - 8) \, dx = x^3 - x^2 - 8x + C \] Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại: \[ F(x) = \sin x + x^3 - x^2 - 8x + C \] Bước 3: Xác định hằng số $C$ bằng cách sử dụng điều kiện $F(0) = 0$: \[ F(0) = \sin 0 + 0^3 - 0^2 - 8 \cdot 0 + C = 0 \] \[ 0 + C = 0 \implies C = 0 \] Do đó, $F(x) = \sin x + x^3 - x^2 - 8x$. Bước 4: Tính $F(1)$: \[ F(1) = \sin 1 + 1^3 - 1^2 - 8 \cdot 1 \] \[ F(1) = \sin 1 + 1 - 1 - 8 \] \[ F(1) = \sin 1 - 8 \] Lấy giá trị của $\sin 1$ (đơn vị radian): \[ \sin 1 \approx 0.8415 \] Vậy: \[ F(1) \approx 0.8415 - 8 = -7.1585 \] Làm tròn đến hàng phần mười: \[ F(1) \approx -7.2 \] Đáp số: $F(1) \approx -7.2$. Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức đại số. Chúng ta sẽ tìm khoảng thời gian ngắn nhất mà vận động viên cần để hoàn thành quãng đường từ A đến C. Bước 1: Xác định các thông số đã biết: - Chiều rộng bể bơi: 400m - Chiều dài bể bơi: 800m - Vận tốc chạy: 30 km/h = $\frac{30 \times 1000}{60 \times 60} = 8.33$ m/s - Vận tốc bơi: 6 km/h = $\frac{6 \times 1000}{60 \times 60} = 1.67$ m/s Bước 2: Gọi khoảng cách từ điểm A đến điểm X là x (m). Khi đó, khoảng cách từ điểm X đến điểm B là 800 - x (m). Bước 3: Tính thời gian chạy từ A đến X: \[ t_1 = \frac{x}{8.33} \] Bước 4: Tính thời gian bơi từ X đến C: \[ t_2 = \frac{\sqrt{(800-x)^2 + 400^2}}{1.67} \] Bước 5: Tổng thời gian là: \[ t = t_1 + t_2 = \frac{x}{8.33} + \frac{\sqrt{(800-x)^2 + 400^2}}{1.67} \] Bước 6: Để tìm giá trị của x sao cho tổng thời gian t là nhỏ nhất, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm (nhưng ở đây chúng ta sẽ dựa vào trực giác và tính toán). Bước 7: Ta thử các giá trị x khác nhau để tìm giá trị làm cho tổng thời gian t nhỏ nhất. Ta có thể sử dụng phương pháp thử nghiệm các giá trị x khác nhau để tìm giá trị tối ưu. Dưới đây là một ví dụ về cách tính toán: Giả sử x = 400m: \[ t_1 = \frac{400}{8.33} \approx 48 \text{ giây} \] \[ t_2 = \frac{\sqrt{(800-400)^2 + 400^2}}{1.67} = \frac{\sqrt{400^2 + 400^2}}{1.67} = \frac{\sqrt{2 \times 400^2}}{1.67} = \frac{400\sqrt{2}}{1.67} \approx 339 \text{ giây} \] \[ t = 48 + 339 = 387 \text{ giây} \] Giả sử x = 600m: \[ t_1 = \frac{600}{8.33} \approx 72 \text{ giây} \] \[ t_2 = \frac{\sqrt{(800-600)^2 + 400^2}}{1.67} = \frac{\sqrt{200^2 + 400^2}}{1.67} = \frac{\sqrt{200^2 + 400^2}}{1.67} = \frac{\sqrt{200000}}{1.67} \approx 306 \text{ giây} \] \[ t = 72 + 306 = 378 \text{ giây} \] Qua các phép tính trên, ta thấy rằng khi x = 600m thì tổng thời gian t nhỏ nhất. Vậy, để vận động viên đến C nhanh nhất, điểm X nên cách A gần bằng 600m. Đáp số: 600m