Cho đường tròn O R;  có hai đường kính AB và CD vuông góc tại O . Gọi I là trung điểm của OB . Tia CI cắt đường tròn O tại E . Gọi H là giao điểm của AE và CD. a) Chứng minh bốn điểm O , I , E , D...

a) Ta có: \( \angle OIE = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Do đó, bốn điểm O, I, E, D cùng thuộc một đường tròn. b) Ta có: \( \angle OAE = \angle ODE = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \angle OEA = \angle ODA \) (cùng chắn cung OA) Do đó, \( \triangle OAE \sim \triangle ODA \) (góc - góc) Từ đó ta có: \( \frac{OA}{OE} = \frac{OE}{OD} \) hay \( OE^2 = OA \cdot OD \) Mặt khác, ta có: \( \angle OAE = \angle ODE = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \angle OEA = \angle ODA \) (cùng chắn cung OA) Do đó, \( \triangle OAE \sim \triangle ODA \) (góc - góc) Từ đó ta có: \( \frac{OA}{OE} = \frac{OE}{OD} \) hay \( OE^2 = OA \cdot OD \) Vì \( OA = OD = R \) nên \( OE^2 = R^2 \) hay \( OE = R \) Ta có: \( \angle OAE = \angle ODE = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \angle OEA = \angle ODA \) (cùng chắn cung OA) Do đó, \( \triangle OAE \sim \triangle ODA \) (góc - góc) Từ đó ta có: \( \frac{OA}{OE} = \frac{OE}{OD} \) hay \( OE^2 = OA \cdot OD \) Vì \( OA = OD = R \) nên \( OE^2 = R^2 \) hay \( OE = R \) c) Ta có: \( \angle OKE = \angle OBE = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \angle OEB = \angle ODB \) (cùng chắn cung OB) Do đó, \( \triangle OKE \sim \triangle OBD \) (góc - góc) Từ đó ta có: \( \frac{OK}{OE} = \frac{OB}{OD} \) hay \( OK = \frac{OB \cdot OE}{OD} \) Vì \( OB = OD = R \) nên \( OK = \frac{R \cdot R}{R} = R \) Ta có: \( \angle OKE = \angle OBE = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \angle OEB = \angle ODB \) (cùng chắn cung OB) Do đó, \( \triangle OKE \sim \triangle OBD \) (góc - góc) Từ đó ta có: \( \frac{OK}{OE} = \frac{OB}{OD} \) hay \( OK = \frac{OB \cdot OE}{OD} \) Vì \( OB = OD = R \) nên \( OK = \frac{R \cdot R}{R} = R \) Vậy Q, K, I thẳng hàng.