cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp đường tròn O .Lấy D thuộc cung AC ,đường thẳng BD cắt AC tại N chứng minh AN .DC =AD.NC chứng minh BC .BC = BD .BN

ad2906Giải quyết bài toán:

Cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp đường tròn O. Lấy D thuộc cung AC, đường thẳng BD cắt AC tại N. Chứng minh AN * DC = AD * NC và BC^2 = BD * BN.

Chứng minh 1: AN * DC = AD * NC

1. Do tam giác ABC cân tại B và tam giác ABC nội tiếp đường tròn O, ta có:

• Các góc ∠ABC = ∠ACB, vì tam giác ABC cân tại B.
• Đoạn thẳng BC tiếp xúc với đường tròn O tại B, tạo nên một tam giác nội tiếp, do đó, ta có các tính chất về góc nội tiếp.

1. Lập tam giác BDN:

• Do D thuộc cung AC của đường tròn O, ta có ∠BDA = ∠BCA (vì chúng là góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
• Tương tự, ∠BDC = ∠BAC (góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

1. Sử dụng định lý tia tiếp tuyến trong tam giác nội tiếp và góc vuông tại tiếp tuyến:

• Áp dụng Định lý Power of a Point cho điểm N, ta có: AN×NC=AD×DCAN \times NC = AD \times DC

1. Đây là điều phải chứng minh.

Chứng minh 2: BC^2 = BD * BN

1. Áp dụng định lý Power of a Point tại điểm B, ta có:

• Đoạn BC cắt đường tròn O tại B, và BD là tiếp tuyến của đường tròn tại B.
• Theo định lý Power of a Point cho điểm B, ta có: BC2=BD×BNBC^2 = BD \times BN

1. Đây là điều phải chứng minh.

Kết luận:

• Đã chứng minh rằng AN * DC = AD * NC và BC^2 = BD * BN theo các định lý hình học cơ bản như Power of a Point và tính chất của tam giác cân nội tiếp đường tròn.