giúp mình với ạ

Câu 36: Để tìm nguyên hàm của $\frac{e^x}{e^{2x}-1}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định biến đổi và phân tích biểu thức. Biểu thức $\frac{e^x}{e^{2x}-1}$ có thể được viết lại dưới dạng: \[ \frac{e^x}{(e^x)^2 - 1} = \frac{e^x}{(e^x - 1)(e^x + 1)} \] Bước 2: Áp dụng phương pháp phân tích thành tổng các phân thức đơn giản hơn. Ta đặt: \[ \frac{e^x}{(e^x - 1)(e^x + 1)} = \frac{A}{e^x - 1} + \frac{B}{e^x + 1} \] Nhân cả hai vế với $(e^x - 1)(e^x + 1)$ để loại bỏ mẫu số: \[ e^x = A(e^x + 1) + B(e^x - 1) \] \[ e^x = Ae^x + A + Be^x - B \] \[ e^x = (A + B)e^x + (A - B) \] So sánh hệ số của $e^x$ và hằng số ở cả hai vế: \[ A + B = 1 \] \[ A - B = 0 \] Giải hệ phương trình này: \[ A + B = 1 \] \[ A - B = 0 \] Cộng hai phương trình: \[ 2A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2} \] Thay $A = \frac{1}{2}$ vào $A - B = 0$: \[ \frac{1}{2} - B = 0 \Rightarrow B = \frac{1}{2} \] Vậy: \[ \frac{e^x}{(e^x - 1)(e^x + 1)} = \frac{\frac{1}{2}}{e^x - 1} + \frac{\frac{1}{2}}{e^x + 1} \] Bước 3: Tính nguyên hàm từng phần. \[ \int \frac{e^x}{e^{2x}-1} \, dx = \int \left( \frac{\frac{1}{2}}{e^x - 1} + \frac{\frac{1}{2}}{e^x + 1} \right) \, dx \] \[ = \frac{1}{2} \int \frac{1}{e^x - 1} \, dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{e^x + 1} \, dx \] Bước 4: Tính từng nguyên hàm riêng lẻ. \[ \int \frac{1}{e^x - 1} \, dx = \ln |e^x - 1| + C_1 \] \[ \int \frac{1}{e^x + 1} \, dx = \ln |e^x + 1| + C_2 \] Bước 5: Kết hợp kết quả. \[ \int \frac{e^x}{e^{2x}-1} \, dx = \frac{1}{2} \left( \ln |e^x - 1| - \ln |e^x + 1| \right) + C \] \[ = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \right| + C \] Vậy đáp án đúng là: D. $\frac{1}{2} \ln \left| \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \right| + C$. Câu 37: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của hàm số \( y = \sqrt{\ln^2 x + 1} \cdot \frac{\ln x}{x} \). 2. Áp dụng điều kiện \( F(1) = \frac{1}{3} \) để xác định hằng số trong nguyên hàm. 3. Tính giá trị của \( F(e) \). 4. Cuối cùng, tính \( F^2(e) \). Bước 1: Tìm nguyên hàm của hàm số \( y = \sqrt{\ln^2 x + 1} \cdot \frac{\ln x}{x} \). Đặt \( u = \ln x \). Khi đó \( du = \frac{1}{x} dx \). Hàm số trở thành: \[ y = \sqrt{u^2 + 1} \cdot u \cdot du \] Tích phân của hàm số này là: \[ \int \sqrt{u^2 + 1} \cdot u \cdot du \] Đặt \( v = u^2 + 1 \). Khi đó \( dv = 2u \, du \) hoặc \( u \, du = \frac{1}{2} dv \). Do đó, tích phân trở thành: \[ \int \sqrt{v} \cdot \frac{1}{2} dv = \frac{1}{2} \int v^{1/2} dv \] Tích phân của \( v^{1/2} \) là: \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} v^{3/2} = \frac{1}{3} v^{3/2} \] Quay lại biến \( u \): \[ \frac{1}{3} (u^2 + 1)^{3/2} \] Quay lại biến \( x \): \[ \frac{1}{3} (\ln^2 x + 1)^{3/2} + C \] Bước 2: Áp dụng điều kiện \( F(1) = \frac{1}{3} \) để xác định hằng số \( C \). Khi \( x = 1 \), \( \ln 1 = 0 \), do đó: \[ F(1) = \frac{1}{3} (0 + 1)^{3/2} + C = \frac{1}{3} + C \] Theo đề bài, \( F(1) = \frac{1}{3} \), nên: \[ \frac{1}{3} + C = \frac{1}{3} \] \[ C = 0 \] Vậy nguyên hàm là: \[ F(x) = \frac{1}{3} (\ln^2 x + 1)^{3/2} \] Bước 3: Tính giá trị của \( F(e) \). Khi \( x = e \), \( \ln e = 1 \), do đó: \[ F(e) = \frac{1}{3} (1^2 + 1)^{3/2} = \frac{1}{3} (2)^{3/2} = \frac{1}{3} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \] Bước 4: Tính \( F^2(e) \). \[ F^2(e) = \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \right)^2 = \frac{(2\sqrt{2})^2}{3^2} = \frac{4 \cdot 2}{9} = \frac{8}{9} \] Vậy giá trị của \( F^2(e) \) là: \[ \boxed{\frac{8}{9}} \] Đáp án đúng là: A. $\frac{8}{9}$ Câu 38: Để tìm nguyên hàm của $\frac{1}{\sin x}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định dạng của hàm số: $\frac{1}{\sin x} = \csc x$ Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm của $\csc x$: $\int \csc x \, dx = -\ln |\csc x + \cot x| + C$ Bước 3: Chuyển đổi $\csc x$ và $\cot x$ về dạng $\tan \frac{x}{2}$: Ta biết rằng: $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ và $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ Sử dụng công thức nửa góc: $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ và $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$ Do đó: $\csc x = \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}$ $\cot x = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}$ Bước 4: Thay vào công thức nguyên hàm: $\int \csc x \, dx = -\ln \left| \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} + \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} \right| + C$ Bước 5: Rút gọn biểu thức: $\int \csc x \, dx = -\ln \left| \frac{1 + \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} \right| + C$ $\int \csc x \, dx = -\ln \left| \frac{1 + \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} \right| + C$ $\int \csc x \, dx = -\ln \left| \frac{2 \cos^2 \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} \right| + C$ $\int \csc x \, dx = -\ln \left| \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \right| + C$ $\int \csc x \, dx = -\ln \left| \cot \frac{x}{2} \right| + C$ Vậy, nguyên hàm của $\frac{1}{\sin x}$ là: $\boxed{-\ln |\cot \frac{x}{2}| + C}$ Đáp án đúng là: A. $-\ln |\cot \frac{x}{2}| + C$ Câu 39: Để tính $\int \cos x \cdot \sin^3 x \, dx$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Bước 1: Xác định biến số mới. Gọi $u = \sin x$. Khi đó, $du = \cos x \, dx$. Bước 2: Thay đổi biến số trong tích phân. $\int \cos x \cdot \sin^3 x \, dx = \int u^3 \, du$ Bước 3: Tính tích phân theo biến số mới. $\int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C$ Bước 4: Quay lại biến số ban đầu. Thay $u = \sin x$ vào kết quả vừa tìm được: $\frac{u^4}{4} + C = \frac{\sin^4 x}{4} + C$ Vậy $\int \cos x \cdot \sin^3 x \, dx = \frac{\sin^4 x}{4} + C$. Do đó, đáp án đúng là: B. $\frac{\sin^4 x}{4} + C$. Câu 40: Để tìm nguyên hàm của \( f(x) = x \cos x^2 \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến. Bước 1: Đặt \( u = x^2 \). Khi đó, \( du = 2x \, dx \) hoặc \( x \, dx = \frac{1}{2} \, du \). Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \int x \cos x^2 \, dx = \int \cos u \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int \cos u \, du \] Bước 3: Tính nguyên hàm của \( \cos u \): \[ \frac{1}{2} \int \cos u \, du = \frac{1}{2} \sin u + C \] Bước 4: Quay lại biến ban đầu \( x \): \[ \frac{1}{2} \sin u + C = \frac{1}{2} \sin x^2 + C \] Vậy, nguyên hàm của \( f(x) = x \cos x^2 \) là: \[ \frac{1}{2} \sin x^2 + C \] Đáp án đúng là: C. $\frac{1}{2} \sin x^2 + C$. Câu 41: Để tìm nguyên hàm của \( f(x) = xe^{-x^2} \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến. Bước 1: Xác định u và du. - Đặt \( u = -x^2 \). - Khi đó, \( du = -2x \, dx \) hoặc \( x \, dx = -\frac{1}{2} \, du \). Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu. - Biểu thức \( f(x) = xe^{-x^2} \) trở thành: \[ f(x) = e^u \cdot \left( -\frac{1}{2} \, du \right) \] Bước 3: Tính nguyên hàm. - Nguyên hàm của \( e^u \cdot \left( -\frac{1}{2} \, du \right) \) là: \[ \int e^u \cdot \left( -\frac{1}{2} \, du \right) = -\frac{1}{2} \int e^u \, du = -\frac{1}{2} e^u + C \] Bước 4: Quay lại biến ban đầu. - Thay \( u = -x^2 \) vào kết quả trên: \[ -\frac{1}{2} e^u + C = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C \] Vậy nguyên hàm của \( f(x) = xe^{-x^2} \) là: \[ -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( -\frac{1}{2} e^{-x^2} \) Câu 42: Để tính tích phân $\int \frac{2x}{(x^2 + 9)^4} \, dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định phương pháp tính tích phân. - Ta nhận thấy rằng phân tử là đạo hàm của mẫu số (hoặc một bội của nó). Do đó, ta có thể sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Bước 2: Thay đổi biến số. - Đặt $u = x^2 + 9$. - Khi đó, $du = 2x \, dx$. Bước 3: Thay vào tích phân. - Tích phân ban đầu trở thành: \[ \int \frac{2x}{(x^2 + 9)^4} \, dx = \int \frac{1}{u^4} \, du \] Bước 4: Tính tích phân mới. - Tích phân $\int u^{-4} \, du$ là: \[ \int u^{-4} \, du = \frac{u^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3u^3} + C \] Bước 5: Quay lại biến số ban đầu. - Thay $u = x^2 + 9$ vào kết quả: \[ -\frac{1}{3(x^2 + 9)^3} + C \] Vậy đáp án đúng là: D. $-\frac{1}{(x^2 + 9)^3} + C$ Đáp số: D. $-\frac{1}{(x^2 + 9)^3} + C$ Câu 43: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( y = \sin^3 x \cdot \cos x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định u và du - Chọn \( u = \sin x \). - Khi đó, \( du = \cos x \, dx \). Bước 2: Thay đổi biến - Biến đổi hàm số ban đầu thành dạng tích phân theo biến mới: \[ \int \sin^3 x \cdot \cos x \, dx = \int u^3 \, du \] Bước 3: Tính tích phân - Tích phân của \( u^3 \) là: \[ \int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C \] Bước 4: Quay lại biến ban đầu - Thay \( u = \sin x \) vào kết quả vừa tìm được: \[ \frac{u^4}{4} + C = \frac{\sin^4 x}{4} + C \] Vậy, nguyên hàm của hàm số \( y = \sin^3 x \cdot \cos x \) là: \[ \frac{\sin^4 x}{4} + C \] Do đó, đáp án đúng là: D. \( \frac{1}{4}\sin^4 x + C \) Đáp số: D. \( \frac{1}{4}\sin^4 x + C \) Câu 44: Để tính $\int \sin x \cos 2x \, dx$, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi tích thành tổng. Bước 1: Biến đổi tích thành tổng: \[ \sin x \cos 2x = \frac{1}{2} [\sin(3x) + \sin(-x)] = \frac{1}{2} [\sin(3x) - \sin(x)] \] Bước 2: Tính tích phân từng phần: \[ \int \sin x \cos 2x \, dx = \int \left(\frac{1}{2} [\sin(3x) - \sin(x)]\right) \, dx \] \[ = \frac{1}{2} \int \sin(3x) \, dx - \frac{1}{2} \int \sin(x) \, dx \] Bước 3: Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int \sin(3x) \, dx = -\frac{1}{3} \cos(3x) + C_1 \] \[ \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C_2 \] Bước 4: Kết hợp lại: \[ \int \sin x \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{3} \cos(3x)\right) - \frac{1}{2} (-\cos(x)) + C \] \[ = -\frac{1}{6} \cos(3x) + \frac{1}{2} \cos(x) + C \] Vậy đáp án đúng là: B. $-\frac{1}{6} \cos(3x) + \frac{1}{2} \cos(x) + C$.