giúp tôi với tích phân

Câu 28: Để tính tích phân \( I = \int_{-1}^{2} f(x) \, dx \) của hàm số \( f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{khi } x \geq 0 \\ e^{2x} & \text{khi } x < 0 \end{cases} \), ta chia tích phân thành hai phần dựa trên miền xác định của hàm số. 1. Tính tích phân từ \(-1\) đến \(0\): \[ \int_{-1}^{0} e^{2x} \, dx \] 2. Tính tích phân từ \(0\) đến \(2\): \[ \int_{0}^{2} (x + 1) \, dx \] Bây giờ, ta sẽ tính từng phần này một. Phần 1: Tính \(\int_{-1}^{0} e^{2x} \, dx\) Ta thực hiện phép tích phân: \[ \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C \] Áp dụng cận trên và cận dưới: \[ \int_{-1}^{0} e^{2x} \, dx = \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_{-1}^{0} \] \[ = \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot (-1)} \] \[ = \frac{1}{2} e^{0} - \frac{1}{2} e^{-2} \] \[ = \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^2} \] \[ = \frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2} \] Phần 2: Tính \(\int_{0}^{2} (x + 1) \, dx\) Ta thực hiện phép tích phân: \[ \int (x + 1) \, dx = \frac{x^2}{2} + x + C \] Áp dụng cận trên và cận dưới: \[ \int_{0}^{2} (x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{2} \] \[ = \left( \frac{2^2}{2} + 2 \right) - \left( \frac{0^2}{2} + 0 \right) \] \[ = \left( \frac{4}{2} + 2 \right) - 0 \] \[ = 2 + 2 \] \[ = 4 \] Tổng hợp kết quả Tích phân \( I \) là tổng của hai tích phân trên: \[ I = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2} \right) + 4 \] \[ = \frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2} + 4 \] \[ = \frac{1}{2} + 4 - \frac{1}{2e^2} \] \[ = \frac{9}{2} - \frac{1}{2e^2} \] Vậy giá trị của tích phân \( I \) là: \[ I = \frac{9}{2} - \frac{1}{2e^2} \]