Giải giúp e với

Câu 6: Để tính diện tích S hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong $y = -x^3 + 12x$ và $y = -x^3$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm giao điểm của hai đường cong Để tìm giao điểm của hai đường cong, ta giải phương trình: \[ -x^3 + 12x = -x^3 \] \[ 12x = 0 \] \[ x = 0 \] Do đó, hai đường cong giao nhau tại điểm $(0, 0)$. Bước 2: Xác định khoảng giới hạn Ta cần tìm thêm các giao điểm khác để xác định khoảng giới hạn. Ta giải phương trình: \[ -x^3 + 12x = -x^3 \] \[ 12x = 0 \] \[ x = 0 \] Vì phương trình này chỉ có nghiệm duy nhất là $x = 0$, ta cần kiểm tra thêm các điểm khác trong khoảng $[-\sqrt{12}, \sqrt{12}]$. Ta thấy rằng $y = -x^3 + 12x$ cắt trục hoành tại các điểm $x = 0$, $x = \sqrt{12}$ và $x = -\sqrt{12}$. Bước 3: Tính diện tích S Diện tích S hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong từ $x = -\sqrt{12}$ đến $x = \sqrt{12}$ là: \[ S = \int_{-\sqrt{12}}^{\sqrt{12}} \left[ (-x^3 + 12x) - (-x^3) \right] dx \] \[ S = \int_{-\sqrt{12}}^{\sqrt{12}} 12x \, dx \] Bước 4: Tính tích phân \[ S = 12 \int_{-\sqrt{12}}^{\sqrt{12}} x \, dx \] \[ S = 12 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-\sqrt{12}}^{\sqrt{12}} \] \[ S = 12 \left( \frac{(\sqrt{12})^2}{2} - \frac{(-\sqrt{12})^2}{2} \right) \] \[ S = 12 \left( \frac{12}{2} - \frac{12}{2} \right) \] \[ S = 12 \times 0 = 0 \] Kết luận Diện tích S hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong $y = -x^3 + 12x$ và $y = -x^3$ là $\boxed{0}$. Câu 7: Để tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 0\) và \(x = 1\), có thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(x (0 \leq x \leq 1)\) là một tam giác đều có cạnh bằng \(x\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích thiết diện: - Diện tích của một tam giác đều có cạnh \(a\) là: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] - Ở đây, cạnh của tam giác đều là \(x\), nên diện tích thiết diện là: \[ S(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 \] 2. Tính thể tích V: - Thể tích của vật thể được tính bằng cách tích phân diện tích thiết diện theo chiều dài đoạn thẳng từ \(x = 0\) đến \(x = 1\): \[ V = \int_{0}^{1} S(x) \, dx = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 \, dx \] - Tính tích phân: \[ V = \frac{\sqrt{3}}{4} \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \frac{\sqrt{3}}{4} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{3}}{12} \] Vậy thể tích V của phần vật thể là: \[ V = \frac{\sqrt{3}}{12} \] Đáp án đúng là: D. \(V = \frac{\sqrt{3}}{12}\). Câu 8: Để tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 0\) và \(x = 3\), ta sẽ sử dụng phương pháp tính thể tích của vật thể bị cắt bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox. Bước 1: Xác định diện tích thiết diện. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(x\) (0 ≤ \(x\) ≤ 3), ta được thiết diện là một hình vuông có độ dài cạnh bằng \(2\sqrt{9 - x^2}\). Diện tích \(S(x)\) của thiết diện này là: \[ S(x) = (2\sqrt{9 - x^2})^2 = 4(9 - x^2) = 36 - 4x^2 \] Bước 2: Tính thể tích V của vật thể. Thể tích V của vật thể được tính bằng cách tích phân diện tích thiết diện \(S(x)\) từ \(x = 0\) đến \(x = 3\): \[ V = \int_{0}^{3} S(x) \, dx = \int_{0}^{3} (36 - 4x^2) \, dx \] Bước 3: Thực hiện tích phân. \[ V = \int_{0}^{3} (36 - 4x^2) \, dx \] \[ V = \left[ 36x - \frac{4x^3}{3} \right]_{0}^{3} \] \[ V = \left( 36 \cdot 3 - \frac{4 \cdot 3^3}{3} \right) - \left( 36 \cdot 0 - \frac{4 \cdot 0^3}{3} \right) \] \[ V = \left( 108 - \frac{4 \cdot 27}{3} \right) - 0 \] \[ V = 108 - 36 \] \[ V = 72 \] Vậy thể tích V của phần vật thể là 72. Đáp án đúng là: D. 72. Câu 9: Để tính thể tích khối tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) khi quay quanh trục hoành, ta sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó: - \( f(x) = e^x \) - Giới hạn tích phân từ \( x = 0 \) đến \( x = \ln 3 \) Bước 1: Xác định hàm số và khoảng tích phân \[ f(x) = e^x \] \[ a = 0 \] \[ b = \ln 3 \] Bước 2: Tính tích phân \[ V = \pi \int_{0}^{\ln 3} (e^x)^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{\ln 3} e^{2x} \, dx \] Bước 3: Tính nguyên hàm của \( e^{2x} \) \[ \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C \] Bước 4: Áp dụng cận trên và cận dưới vào nguyên hàm \[ V = \pi \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_{0}^{\ln 3} \] \[ V = \pi \left( \frac{1}{2} e^{2 \ln 3} - \frac{1}{2} e^{0} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{1}{2} e^{\ln 9} - \frac{1}{2} \cdot 1 \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{9}{2} - \frac{1}{2} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{8}{2} \right) \] \[ V = 4\pi \] Vậy thể tích khối tròn xoay sinh bởi (H) khi quay quanh trục hoành là \( 4\pi \). Đáp án đúng là: B. \( 4\pi \). Câu 10: Để tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường \( y = x^2 - 4x + 3 \) và \( y = 0 \) quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của hai đường: Ta giải phương trình: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Phân tích phương trình thành nhân tử: \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] Vậy các giao điểm là \( x = 1 \) và \( x = 3 \). 2. Xác định khoảng tích phân: Hình phẳng giới hạn bởi hai đường này nằm trong khoảng từ \( x = 1 \) đến \( x = 3 \). 3. Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: Thể tích \( V \) của khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó, \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \), \( a = 1 \), và \( b = 3 \). 4. Tính tích phân: \[ V = \pi \int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3)^2 \, dx \] Ta mở rộng bình phương: \[ (x^2 - 4x + 3)^2 = x^4 - 8x^3 + 22x^2 - 24x + 9 \] Do đó: \[ V = \pi \int_{1}^{3} (x^4 - 8x^3 + 22x^2 - 24x + 9) \, dx \] 5. Tính từng phần tích phân: \[ \int_{1}^{3} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{1}^{3} = \frac{3^5}{5} - \frac{1^5}{5} = \frac{243}{5} - \frac{1}{5} = \frac{242}{5} \] \[ \int_{1}^{3} 8x^3 \, dx = 8 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{3} = 8 \left( \frac{3^4}{4} - \frac{1^4}{4} \right) = 8 \left( \frac{81}{4} - \frac{1}{4} \right) = 8 \times \frac{80}{4} = 160 \] \[ \int_{1}^{3} 22x^2 \, dx = 22 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} = 22 \left( \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right) = 22 \left( \frac{27}{3} - \frac{1}{3} \right) = 22 \times \frac{26}{3} = \frac{572}{3} \] \[ \int_{1}^{3} 24x \, dx = 24 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{3} = 24 \left( \frac{3^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = 24 \left( \frac{9}{2} - \frac{1}{2} \right) = 24 \times 4 = 96 \] \[ \int_{1}^{3} 9 \, dx = 9 \left[ x \right]_{1}^{3} = 9 (3 - 1) = 18 \] 6. Tổng hợp kết quả: \[ V = \pi \left( \frac{242}{5} - 160 + \frac{572}{3} - 96 + 18 \right) \] Chuyển tất cả về cùng mẫu số: \[ V = \pi \left( \frac{242}{5} - \frac{800}{5} + \frac{2860}{15} - \frac{1440}{15} + \frac{270}{15} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{-558}{5} + \frac{1690}{15} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{-1674}{15} + \frac{1690}{15} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{16}{15} \right) \] \[ V = \frac{16\pi}{15} \] Vậy đáp án đúng là: B. $\frac{16\pi}{15}$. Câu 11: Để tính dung tích của chậu, ta cần tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng được tô đậm quanh trục Ox. Hình phẳng này giới hạn bởi đường cong \( y = \sqrt{x + 1} \), trục Ox, và hai đường thẳng \( x = -1 \) và \( x = 3 \). Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \( y = f(x) \), trục Ox, và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \) quanh trục Ox được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong trường hợp này, hàm số \( f(x) = \sqrt{x + 1} \), và khoảng tích phân từ \( x = -1 \) đến \( x = 3 \). Ta có: \[ V = \pi \int_{-1}^{3} (\sqrt{x + 1})^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{-1}^{3} (x + 1) \, dx \] Bây giờ, ta tính tích phân: \[ \int_{-1}^{3} (x + 1) \, dx = \left[ \frac{(x + 1)^2}{2} \right]_{-1}^{3} \] \[ = \left[ \frac{(3 + 1)^2}{2} - \frac{(-1 + 1)^2}{2} \right] \] \[ = \left[ \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right] \] \[ = \left[ \frac{16}{2} - 0 \right] \] \[ = 8 \] Do đó, thể tích của khối tròn xoay là: \[ V = \pi \times 8 = 8\pi \] Chuyển đổi đơn vị từ \( \text{dm}^3 \) sang lít (1 \( \text{dm}^3 \) = 1 lít): \[ V \approx 8 \times 3.14 = 25.12 \, \text{lít} \] Vậy dung tích của chậu là khoảng 25,13 lít. Đáp án đúng là: A. 25,13 lít. Câu 12: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích tam giác đều ABC. 2. Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 3. Tính diện tích phần gạch chéo bằng cách lấy diện tích hình tròn trừ đi diện tích tam giác đều. Bước 1: Tính diện tích tam giác đều ABC Cạnh tam giác đều \( AB = 4\sqrt{3} \) cm. Diện tích tam giác đều \( S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (AB)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (4\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 48 = 12\sqrt{3} \) cm². Bước 2: Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bán kính hình tròn ngoại tiếp tam giác đều \( R = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 \) cm. Diện tích hình tròn ngoại tiếp \( S_{hình tròn} = \pi R^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi \) cm². Bước 3: Tính diện tích phần gạch chéo Diện tích phần gạch chéo \( S_{gạch chéo} = S_{hình tròn} - S_{ABC} = 16\pi - 12\sqrt{3} \). Chuyển đổi số \(\pi\) và \(\sqrt{3}\) sang số thập phân: - \(\pi \approx 3.1416\) - \(\sqrt{3} \approx 1.7321\) Do đó: \[ 16\pi \approx 16 \times 3.1416 = 50.2656 \] \[ 12\sqrt{3} \approx 12 \times 1.7321 = 20.7852 \] Diện tích phần gạch chéo: \[ S_{gạch chéo} \approx 50.2656 - 20.7852 = 29.4804 \] cm². So sánh với các đáp án đã cho: A. 37,54 cm² B. 9,83 cm² C. 27,71 cm² D. 36,75 cm² Đáp án gần đúng nhất là C. 27,71 cm². Vậy đáp án đúng là: C. 27,71 cm².