giúp t voiw ạ

Câu 45: Để tìm nguyên hàm của $\int \frac{-2x}{1-x^2} dx$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định phương pháp giải. - Nhận thấy rằng mẫu số $1 - x^2$ có thể được viết lại dưới dạng $(1 - x)(1 + x)$, nhưng trong trường hợp này, việc sử dụng phương pháp thay đổi biến sẽ đơn giản hơn. Bước 2: Thay đổi biến. - Đặt $u = 1 - x^2$. Khi đó, $du = -2x \, dx$. Bước 3: Thay vào biểu thức nguyên hàm. - Biểu thức nguyên hàm trở thành: \[ \int \frac{-2x}{1-x^2} dx = \int \frac{du}{u} \] Bước 4: Tính nguyên hàm. - Nguyên hàm của $\frac{1}{u}$ là $\ln |u| + C$. - Do đó, $\int \frac{du}{u} = \ln |u| + C$. Bước 5: Quay lại biến ban đầu. - Thay $u = 1 - x^2$ vào kết quả trên, ta có: \[ \int \frac{-2x}{1-x^2} dx = \ln |1 - x^2| + C \] Vậy, nguyên hàm của $\int \frac{-2x}{1-x^2} dx$ là $\ln |1 - x^2| + C$. Đáp án đúng là: D. $\ln |1 - x^2| + C$. Câu 46: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( y = \sin^3 x \cdot \cos x \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Bước 1: Xác định biến số mới. Gọi \( u = \sin x \). Khi đó, đạo hàm của \( u \) là: \[ \frac{du}{dx} = \cos x \] Hay \( du = \cos x \, dx \). Bước 2: Thay đổi biến số trong nguyên hàm. Nguyên hàm ban đầu là: \[ \int \sin^3 x \cdot \cos x \, dx \] Thay \( u = \sin x \) và \( du = \cos x \, dx \): \[ \int u^3 \, du \] Bước 3: Tính nguyên hàm của \( u^3 \). \[ \int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C \] Bước 4: Quay lại biến số ban đầu. Thay \( u = \sin x \) vào kết quả: \[ \frac{(\sin x)^4}{4} + C = \frac{\sin^4 x}{4} + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( y = \sin^3 x \cdot \cos x \) là: \[ \frac{1}{4} \sin^4 x + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. $\frac{1}{4} \sin^4 x + C$. Câu 47: Để tính tích phân \( P = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx \), ta thực hiện như sau: Bước 1: Tách tích phân thành hai phần: \[ P = \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx + \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx \] Bước 2: Tính từng phần riêng lẻ. Phần 1: \( \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx \) - Đặt \( u = x^2 + 1 \). Khi đó \( du = 2x \, dx \) hoặc \( \frac{du}{2} = x \, dx \). Thay vào: \[ \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} \, du \] \[ = \frac{1}{2} \cdot 2u^{\frac{1}{2}} + C_1 = \sqrt{u} + C_1 = \sqrt{x^2 + 1} + C_1 \] Phần 2: \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx \) - Ta biết rằng \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx = \ln |x + \sqrt{x^2 + 1}| + C_2 \). Bước 3: Kết hợp lại: \[ P = \sqrt{x^2 + 1} + \ln |x + \sqrt{x^2 + 1}| + C \] Vậy đáp án đúng là: B. \( P = \sqrt{x^2 + 1} + \ln |x + \sqrt{x^2 + 1}| + C \) Câu 48: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( y = \sin^2 x \cdot \cos^3 x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định phương pháp giải. - Ta nhận thấy rằng hàm số \( y = \sin^2 x \cdot \cos^3 x \) có dạng tích của các hàm lượng giác. Để dễ dàng tính nguyên hàm, ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến số. Bước 2: Đổi biến số. - Gọi \( u = \sin x \). Khi đó, \( du = \cos x \, dx \). Bước 3: Biến đổi hàm số ban đầu. - Ta có: \[ y = \sin^2 x \cdot \cos^3 x = \sin^2 x \cdot \cos^2 x \cdot \cos x = u^2 \cdot (1 - u^2) \cdot \cos x \] - Thay \( \cos x \, dx = du \): \[ y = u^2 \cdot (1 - u^2) \cdot du = u^2 \cdot (1 - u^2) \, du = (u^2 - u^4) \, du \] Bước 4: Tính nguyên hàm. - Nguyên hàm của \( (u^2 - u^4) \, du \) là: \[ \int (u^2 - u^4) \, du = \int u^2 \, du - \int u^4 \, du \] \[ = \frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} + C \] Bước 5: Quay lại biến số ban đầu. - Thay \( u = \sin x \) vào kết quả trên: \[ \frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( y = \sin^2 x \cdot \cos^3 x \) là: \[ \frac{1}{3} \sin^3 x - \frac{1}{5} \sin^5 x + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. $\frac{1}{3} \sin^3 x - \frac{1}{5} \sin^5 x + C$ Đáp số: B. $\frac{1}{3} \sin^3 x - \frac{1}{5} \sin^5 x + C$ Câu 49: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x \sin \sqrt{1 + x^2} \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến. Bước 1: Đặt \( t = \sqrt{1 + x^2} \). Khi đó, \( t^2 = 1 + x^2 \). Bước 2: Tính vi phân \( dt \): \[ dt = \frac{d(1 + x^2)}{2\sqrt{1 + x^2}} dx = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} dx \] Do đó: \[ dx = \frac{\sqrt{1 + x^2}}{x} dt = \frac{t}{x} dt \] Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ f(x) = x \sin \sqrt{1 + x^2} = x \sin t \] \[ \int x \sin t \cdot \frac{t}{x} dt = \int t \sin t dt \] Bước 4: Áp dụng phương pháp tích phân từng phần để tính \( \int t \sin t dt \): - Gọi \( u = t \) và \( dv = \sin t dt \) - Khi đó \( du = dt \) và \( v = -\cos t \) Theo công thức tích phân từng phần: \[ \int u dv = uv - \int v du \] Áp dụng vào bài toán: \[ \int t \sin t dt = -t \cos t - \int (-\cos t) dt \] \[ = -t \cos t + \int \cos t dt \] \[ = -t \cos t + \sin t + C \] Bước 5: Quay lại biến ban đầu: \[ t = \sqrt{1 + x^2} \] Do đó: \[ \int x \sin \sqrt{1 + x^2} dx = -\sqrt{1 + x^2} \cos \sqrt{1 + x^2} + \sin \sqrt{1 + x^2} + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x \sin \sqrt{1 + x^2} \) là: \[ F(x) = -\sqrt{1 + x^2} \cos \sqrt{1 + x^2} + \sin \sqrt{1 + x^2} + C \] Đáp án đúng là: B. \( F(x) = -\sqrt{1 + x^2} \cos \sqrt{1 + x^2} + \sin \sqrt{1 + x^2} \) Câu 50: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x(1 - x)^{10} \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Bước 1: Xác định u và dv Chúng ta chọn: \[ u = x \] \[ dv = (1 - x)^{10} \, dx \] Bước 2: Tính du và v \[ du = dx \] \[ v = \int (1 - x)^{10} \, dx \] Để tính v, chúng ta sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Đặt \( t = 1 - x \), thì \( dt = -dx \). Do đó: \[ v = \int t^{10} (-dt) = -\int t^{10} \, dt = -\frac{t^{11}}{11} + C = -\frac{(1 - x)^{11}}{11} + C \] Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Áp dụng vào bài toán: \[ \int x(1 - x)^{10} \, dx = x \left( -\frac{(1 - x)^{11}}{11} \right) - \int \left( -\frac{(1 - x)^{11}}{11} \right) \, dx \] \[ = -\frac{x(1 - x)^{11}}{11} + \frac{1}{11} \int (1 - x)^{11} \, dx \] Bước 4: Tính tích phân còn lại \[ \int (1 - x)^{11} \, dx = -\frac{(1 - x)^{12}}{12} + C \] Bước 5: Kết hợp các kết quả \[ \int x(1 - x)^{10} \, dx = -\frac{x(1 - x)^{11}}{11} + \frac{1}{11} \left( -\frac{(1 - x)^{12}}{12} \right) + C \] \[ = -\frac{x(1 - x)^{11}}{11} - \frac{(1 - x)^{12}}{132} + C \] Bước 6: Rút gọn kết quả \[ = -\frac{x(1 - x)^{11}}{11} - \frac{(1 - x)^{12}}{132} + C \] \[ = -\frac{12x(1 - x)^{11} + (1 - x)^{12}}{132} + C \] \[ = -\frac{(1 - x)^{11}(12x + (1 - x))}{132} + C \] \[ = -\frac{(1 - x)^{11}(11x + 1)}{132} + C \] \[ = -\frac{(1 - x)^{11}(11x + 1)}{132} + C \] Do đó, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x(1 - x)^{10} \) là: \[ F(x) = -\frac{(1 - x)^{11}(11x + 1)}{132} + C \] Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, chúng ta thấy rằng đáp án đúng là: \[ F(x) = \frac{(x-1)^{12}}{12} - \frac{(x-1)^{11}}{11} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~F(x) = \frac{(x-1)^{12}}{12} - \frac{(x-1)^{11}}{11} + C} \] Câu 51: Để tính nguyên hàm của hàm số $\int \cos x \cdot \sin^2 x \, dx$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định phương pháp tính nguyên hàm. - Ta nhận thấy rằng $\cos x$ là đạo hàm của $\sin x$. Do đó, chúng ta có thể sử dụng phương pháp thay đổi biến số để tính nguyên hàm này. Bước 2: Thay đổi biến số. - Đặt $u = \sin x$. Khi đó, $du = \cos x \, dx$. Bước 3: Thay vào biểu thức nguyên hàm. - Biểu thức nguyên hàm trở thành: \[ \int \cos x \cdot \sin^2 x \, dx = \int u^2 \, du \] Bước 4: Tính nguyên hàm của $u^2$. - Nguyên hàm của $u^2$ là: \[ \int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C \] Bước 5: Quay lại biến số ban đầu. - Thay $u = \sin x$ vào kết quả trên, ta có: \[ \frac{u^3}{3} + C = \frac{\sin^3 x}{3} + C \] Vậy, nguyên hàm của hàm số $\int \cos x \cdot \sin^2 x \, dx$ là: \[ \frac{\sin^3 x}{3} + C \] Do đó, đáp án đúng là: C. $\sin^3 x + C$ Đáp số: C. $\sin^3 x + C$ Câu 52: Để tính $\int \frac{dx}{x \cdot \ln x}$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Bước 1: Xác định biến số mới. Gọi $u = \ln x$. Khi đó, $du = \frac{1}{x} dx$. Bước 2: Thay đổi biến số trong tích phân. $\int \frac{dx}{x \cdot \ln x} = \int \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{u} du$. Bước 3: Tính tích phân mới. $\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C$. Bước 4: Quay lại biến số ban đầu. Thay $u = \ln x$ vào kết quả trên, ta có: $\ln |u| + C = \ln |\ln x| + C$. Vậy đáp án đúng là: D. $\ln |\ln x| + C$. Đáp số: D. $\ln |\ln x| + C$. Câu 53: Để tính $\int x\sqrt{x^2+3}dx$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến số. Bước 1: Đặt $u = x^2 + 3$. Bước 2: Tính vi phân của $u$: \[ du = 2x \, dx \] \[ x \, dx = \frac{1}{2} du \] Bước 3: Thay vào tích phân: \[ \int x\sqrt{x^2+3}dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} du \] Bước 4: Tính tích phân: \[ \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{1/2} du \] Bước 5: Áp dụng công thức tích phân cơ bản: \[ \frac{1}{2} \int u^{1/2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3/2}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{1}{3} u^{3/2} + C \] Bước 6: Quay lại biến số ban đầu: \[ \frac{1}{3} u^{3/2} + C = \frac{1}{3} (x^2 + 3)^{3/2} + C \] Vậy đáp án đúng là: C. $\frac{(x^2+3)^{3/2}}{3} + C$ Đáp án: C. $\frac{(x^2+3)^{3/2}}{3} + C$ Câu 54: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( y = \sin^3 x \cdot \cos x \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Bước 1: Xác định biến số mới. Gọi \( u = \sin x \). Khi đó, đạo hàm của \( u \) theo \( x \) là: \[ \frac{du}{dx} = \cos x \] Hay \( du = \cos x \, dx \). Bước 2: Thay đổi biến số trong nguyên hàm. Nguyên hàm ban đầu là: \[ \int \sin^3 x \cdot \cos x \, dx \] Thay \( u = \sin x \) và \( du = \cos x \, dx \), ta có: \[ \int u^3 \, du \] Bước 3: Tính nguyên hàm của \( u^3 \). \[ \int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C \] Bước 4: Quay lại biến số ban đầu. Thay \( u = \sin x \) vào kết quả trên, ta được: \[ \frac{\sin^4 x}{4} + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( y = \sin^3 x \cdot \cos x \) là: \[ \frac{1}{4} \sin^4 x + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. $\frac{1}{4} \sin^4 x + C$ Đáp số: A. $\frac{1}{4} \sin^4 x + C$ Câu 55: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x \sqrt{1 + x^2} \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến. Bước 1: Đặt \( u = 1 + x^2 \). Khi đó, \( du = 2x \, dx \) hoặc \( x \, dx = \frac{1}{2} \, du \). Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ f(x) = x \sqrt{1 + x^2} \] \[ \int x \sqrt{1 + x^2} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \, du \] Bước 3: Tính nguyên hàm: \[ \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int u^{1/2} \, du \] \[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C \] \[ = \frac{1}{3} u^{3/2} + C \] Bước 4: Quay lại biến ban đầu: \[ u = 1 + x^2 \] \[ \frac{1}{3} u^{3/2} + C = \frac{1}{3} (1 + x^2)^{3/2} + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x \sqrt{1 + x^2} \) là: \[ F(x) = \frac{1}{3} (\sqrt{1 + x^2})^3 + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. \( F(x) = \frac{1}{3} (\sqrt{1 + x^2})^3 \) Đáp số: A. \( F(x) = \frac{1}{3} (\sqrt{1 + x^2})^3 \)