Giải hộ e với ạ

Câu 1: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = x^2 + 2x + 1 \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = -1 \) và \( x = 3 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng tích phân: - Giới hạn dưới là \( x = -1 \) - Giới hạn trên là \( x = 3 \) 2. Tính diện tích bằng cách tích phân hàm số từ \( x = -1 \) đến \( x = 3 \): \[ S = \int_{-1}^{3} (x^2 + 2x + 1) \, dx \] 3. Tính tích phân từng phần: \[ \int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \int x^2 \, dx + \int 2x \, dx + \int 1 \, dx \] \[ = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C \] 4. Áp dụng cận trên và cận dưới vào kết quả tích phân: \[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_{-1}^{3} \] \[ = \left( \frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + (-1) \right) \] \[ = \left( \frac{27}{3} + 9 + 3 \right) - \left( \frac{-1}{3} + 1 - 1 \right) \] \[ = (9 + 9 + 3) - \left( \frac{-1}{3} + 0 \right) \] \[ = 21 - \left( \frac{-1}{3} \right) \] \[ = 21 + \frac{1}{3} \] \[ = \frac{63}{3} + \frac{1}{3} \] \[ = \frac{64}{3} \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = x^2 + 2x + 1 \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = -1 \) và \( x = 3 \) là: \[ S = \frac{64}{3} \] Đáp án đúng là: D. \( S = \frac{64}{3} \). Câu 2: Để tính diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \( y = \sin x \), trục hoành \( Ox \), và các đường thẳng \( x = 0 \) và \( x = \pi \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giới hạn tích phân: - Giới hạn dưới là \( x = 0 \). - Giới hạn trên là \( x = \pi \). 2. Tính diện tích bằng tích phân: Diện tích \( S \) của hình phẳng (H) được tính bằng tích phân của hàm \( y = \sin x \) từ \( x = 0 \) đến \( x = \pi \): \[ S = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx \] 3. Tính tích phân: Tích phân của \( \sin x \) là \( -\cos x \). Do đó: \[ \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = \left[ -\cos x \right]_{0}^{\pi} \] Thay các giới hạn vào: \[ \left[ -\cos x \right]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2 \] 4. Kết luận: Diện tích của hình phẳng (H) là 2. Vậy đáp án đúng là: C. 2. Câu 3: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f(x)$, $y = 0$, $x = -1$, và $x = 2$, ta cần chia hình phẳng thành hai phần riêng biệt dựa vào các đoạn trên trục hoành mà hàm số $f(x)$ nằm phía trên hoặc phía dưới trục hoành. Trước hết, ta nhận thấy rằng: - Trên đoạn $[-1, 1]$, hàm số $f(x)$ nằm phía dưới trục hoành, do đó diện tích này sẽ là giá trị tuyệt đối của tích phân từ $-1$ đến $1$ của $f(x)$. - Trên đoạn $[1, 2]$, hàm số $f(x)$ nằm phía trên trục hoành, do đó diện tích này sẽ là tích phân từ $1$ đến $2$ của $f(x)$. Diện tích tổng cộng $S$ sẽ là tổng của hai diện tích này: \[ S = \left| \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \right| + \int_{1}^{2} f(x) \, dx \] Do hàm số $f(x)$ nằm phía dưới trục hoành trên đoạn $[-1, 1]$, tích phân $\int_{-1}^{1} f(x) \, dx$ sẽ là một số âm. Do đó, giá trị tuyệt đối của nó sẽ là: \[ \left| \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \right| = -\int_{-1}^{1} f(x) \, dx \] Vậy diện tích tổng cộng $S$ sẽ là: \[ S = -\int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx \] Như vậy, mệnh đề đúng là: B. $S = -\int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx$ Đáp án: B. $S = -\int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx$ Câu 4: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \( y = x^2 \), \( y = x \) và các đường thẳng \( x = 0 \), \( x = 1 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giao điểm của hai đồ thị: - Giao điểm của \( y = x^2 \) và \( y = x \): \[ x^2 = x \implies x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 1 \] Vậy hai đồ thị giao nhau tại điểm \( (0, 0) \) và \( (1, 1) \). 2. Xác định khoảng tích phân: - Ta thấy rằng trên đoạn \( [0, 1] \), hàm số \( y = x \) nằm phía trên hàm số \( y = x^2 \). 3. Tính diện tích: - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \) là: \[ S = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx \] 4. Kiểm tra đáp án: - Đáp án đúng là D. \( \int_{0}^{1} |x^2 - x| \, dx \) Vậy đáp án đúng là: D. \( \int_{0}^{1} |x^2 - x| \, dx \) Lập luận từng bước: - Ta đã xác định giao điểm của hai đồ thị và thấy rằng trên đoạn \( [0, 1] \), hàm số \( y = x \) nằm phía trên hàm số \( y = x^2 \). - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \) là tích phân của hiệu giữa hai hàm số này. - Do đó, diện tích \( S \) được tính bằng \( \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx \), tương đương với \( \int_{0}^{1} |x^2 - x| \, dx \). Câu 5: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y = x^3 - 6x$ và $y = x^2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm giao điểm của hai đường cong Ta giải phương trình: \[ x^3 - 6x = x^2 \] \[ x^3 - x^2 - 6x = 0 \] \[ x(x^2 - x - 6) = 0 \] \[ x(x - 3)(x + 2) = 0 \] Vậy các giao điểm là: \( x = 0 \), \( x = 3 \), và \( x = -2 \). Bước 2: Xác định khoảng tích phân Các giao điểm chia đoạn trên trục hoành thành ba khoảng: \([-2, 0]\), \([0, 3]\). Ta sẽ tính diện tích trên mỗi khoảng này. Bước 3: Tính diện tích trên mỗi khoảng Trên khoảng \([-2, 0]\): - Đường cong \( y = x^2 \) nằm phía trên đường cong \( y = x^3 - 6x \). Diện tích \( A_1 \) trên khoảng \([-2, 0]\) là: \[ A_1 = \int_{-2}^{0} \left( x^2 - (x^3 - 6x) \right) \, dx \] \[ A_1 = \int_{-2}^{0} \left( x^2 - x^3 + 6x \right) \, dx \] \[ A_1 = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + 3x^2 \right]_{-2}^{0} \] \[ A_1 = \left( 0 - 0 + 0 \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^4}{4} + 3(-2)^2 \right) \] \[ A_1 = 0 - \left( -\frac{8}{3} - 4 + 12 \right) \] \[ A_1 = 0 - \left( -\frac{8}{3} + 8 \right) \] \[ A_1 = 0 - \left( -\frac{8}{3} + \frac{24}{3} \right) \] \[ A_1 = 0 - \frac{16}{3} \] \[ A_1 = \frac{16}{3} \] Trên khoảng \([0, 3]\): - Đường cong \( y = x^2 \) nằm phía dưới đường cong \( y = x^3 - 6x \). Diện tích \( A_2 \) trên khoảng \([0, 3]\) là: \[ A_2 = \int_{0}^{3} \left( (x^3 - 6x) - x^2 \right) \, dx \] \[ A_2 = \int_{0}^{3} \left( x^3 - x^2 - 6x \right) \, dx \] \[ A_2 = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - 3x^2 \right]_{0}^{3} \] \[ A_2 = \left( \frac{3^4}{4} - \frac{3^3}{3} - 3 \cdot 3^2 \right) - \left( 0 - 0 - 0 \right) \] \[ A_2 = \left( \frac{81}{4} - 9 - 27 \right) \] \[ A_2 = \left( \frac{81}{4} - \frac{36}{4} - \frac{108}{4} \right) \] \[ A_2 = \left( \frac{81 - 36 - 108}{4} \right) \] \[ A_2 = \left( \frac{-63}{4} \right) \] \[ A_2 = -\frac{63}{4} \] Tổng diện tích \( A \) là: \[ A = A_1 + |A_2| \] \[ A = \frac{16}{3} + \frac{63}{4} \] \[ A = \frac{64}{12} + \frac{189}{12} \] \[ A = \frac{253}{12} \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \( y = x^3 - 6x \) và \( y = x^2 \) là \( \frac{253}{12} \).