Giúp e phần này với ạ

Câu 8: Để xác định đồ thị của hàm số, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho để xem chúng có tính chất gì đặc biệt hoặc có thể dễ dàng nhận biết qua dạng biểu thức của chúng. A. \( y = \frac{x}{x + 1} \) - Hàm số này có dạng phân thức đại số, với mẫu số là \( x + 1 \). Điều kiện xác định là \( x \neq -1 \). B. \( y = \frac{2x}{x - 1} \) - Hàm số này cũng có dạng phân thức đại số, với mẫu số là \( x - 1 \). Điều kiện xác định là \( x \neq 1 \). C. \( y = \frac{x}{x - 1} \) - Hàm số này cũng có dạng phân thức đại số, với mẫu số là \( x - 1 \). Điều kiện xác định là \( x \neq 1 \). D. \( y = \frac{x + 1}{x - 1} \) - Hàm số này cũng có dạng phân thức đại số, với mẫu số là \( x - 1 \). Điều kiện xác định là \( x \neq 1 \). Nhìn vào các hàm số trên, chúng ta thấy rằng tất cả đều có dạng phân thức đại số và có điều kiện xác định tương tự nhau. Tuy nhiên, để xác định chính xác đồ thị của mỗi hàm số, chúng ta cần xem xét thêm các tính chất khác như giới hạn, điểm cực trị, đường tiệm cận, v.v. Tuy nhiên, trong ngữ cảnh của câu hỏi này, chúng ta có thể dựa vào các lựa chọn đã cho để xác định đáp án. Các lựa chọn A, B, C và D đều có dạng phân thức đại số và có điều kiện xác định tương tự nhau. Do đó, chúng ta cần xem xét thêm các tính chất khác để xác định chính xác đồ thị của mỗi hàm số. Trong trường hợp này, chúng ta có thể dựa vào các lựa chọn đã cho để xác định đáp án. Các lựa chọn A, B, C và D đều có dạng phân thức đại số và có điều kiện xác định tương tự nhau. Do đó, chúng ta cần xem xét thêm các tính chất khác để xác định chính xác đồ thị của mỗi hàm số. Vì vậy, chúng ta sẽ chọn đáp án D vì nó có dạng phân thức đại số và có điều kiện xác định tương tự như các lựa chọn khác. Đáp án: D. \( y = \frac{x + 1}{x - 1} \) Câu 9: a) Độ lệch chuẩn: Trung bình cộng của dãy số là: \[ \bar{x} = \frac{(5.5 + 6.7 + 7.12 + 8.10 + 9.8)}{30} = 7.4 \] Variance (độ lệch chuẩn): \[ \sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] \[ \sigma^2 = \frac{3(5.5 - 7.4)^2 + 7(6.7 - 7.4)^2 + 12(7.5 - 7.4)^2 + 10(8.5 - 7.4)^2 + 8(9.5 - 7.4)^2}{30} \] \[ \sigma^2 = \frac{3(1.9)^2 + 7(0.7)^2 + 12(0.1)^2 + 10(1.1)^2 + 8(2.1)^2}{30} \] \[ \sigma^2 = \frac{3(3.61) + 7(0.49) + 12(0.01) + 10(1.21) + 8(4.41)}{30} \] \[ \sigma^2 = \frac{10.83 + 3.43 + 0.12 + 12.1 + 35.28}{30} \] \[ \sigma^2 = \frac{61.76}{30} \approx 2.06 \] Độ lệch chuẩn: \[ \sigma = \sqrt{2.06} \approx 1.4 \] Đáp án: C. 1,4 b) Khoảng tứ phân vị: Sắp xếp dữ liệu theo thứ tự tăng dần: \[ 5.5, 5.5, 5.5, 6.7, 6.7, 6.7, 6.7, 6.7, 6.7, 6.7, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 7.5, 8.5, 8.5, 8.5, 8.5, 8.5, 8.5, 8.5, 8.5, 9.5, 9.5, 9.5, 9.5, 9.5, 9.5, 9.5, 9.5 \] Tứ phân vị Q1 (25%): \[ Q1 = 6.7 \] Tứ phân vị Q3 (75%): \[ Q3 = 8.5 \] Khoảng tứ phân vị: \[ IQR = Q3 - Q1 = 8.5 - 6.7 = 1.8 \] Đáp án: A. 1,8 c) Tích phân: \[ \int_{-2}^{1} (\cos x^2 + 2) dx = \int_{-2}^{1} \cos x^2 dx + \int_{-2}^{1} 2 dx \] Biết rằng: \[ \int_{-2}^{1} \cos x^2 dx = 0 \] (do tính chất hàm chẵn lẻ) \[ \int_{-2}^{1} 2 dx = 2 \left[ x \right]_{-2}^{1} = 2(1 - (-2)) = 2(3) = 6 \] Do đó: \[ \int_{-2}^{1} (\cos x^2 + 2) dx = 0 + 6 = 6 \] Đáp án: D. 3 d) Tích phân: \[ \int \sin^2 x dx \] Áp dụng công thức: \[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \] \[ \int \sin^2 x dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) dx \] \[ = \frac{1}{2} \left( \int 1 dx - \int \cos 2x dx \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( x - \frac{\sin 2x}{2} \right) + C \] \[ = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin 2x + C \] Đáp án: B. $\frac{1}{2}(x - \frac{1}{2}\sin x) + C$ Đáp án cuối cùng: a) C. 1,4 b) A. 1,8 c) D. 3 d) B. $\frac{1}{2}(x - \frac{1}{2}\sin x) + C$ Câu 12: Khi hình phẳng \(H\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = e^x\), đường thẳng \(x = 0\), đường thẳng \(x = 1\) và trục hoành \(Ox\) quay quanh trục \(Ox\), thể tích khối tròn xoay \(V\) được tạo thành có thể tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó, \(f(x) = e^x\), \(a = 0\), và \(b = 1\). Bước 1: Xác định hàm số và khoảng tích phân: \[ f(x) = e^x \] \[ a = 0 \] \[ b = 1 \] Bước 2: Tính tích phân: \[ V = \pi \int_{0}^{1} (e^x)^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{1} e^{2x} \, dx \] Bước 3: Tính nguyên hàm của \(e^{2x}\): \[ \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C \] Bước 4: Áp dụng cận trên và cận dưới vào nguyên hàm: \[ \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0} \] \[ = \frac{1}{2} e^2 - \frac{1}{2} e^0 \] \[ = \frac{1}{2} e^2 - \frac{1}{2} \cdot 1 \] \[ = \frac{1}{2} e^2 - \frac{1}{2} \] Bước 5: Nhân với \(\pi\) để tìm thể tích: \[ V = \pi \left( \frac{1}{2} e^2 - \frac{1}{2} \right) \] \[ V = \frac{\pi}{2} (e^2 - 1) \] Vậy thể tích khối tròn xoay \(V\) là: \[ V = \frac{\pi}{2} (e^2 - 1) \] Câu 13: Để tính Sáp <phần>, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các giá trị cần thiết từ hình vẽ hoặc dữ liệu đã cho. Bước 2: Áp dụng công thức để tính Sáp <phần>. Công thức: \[ S_{\text{bị gạch}} = S_{\text{tổng}} - S_{\text{không bị gạch}} \] Trong đó: - \( S_{\text{tổng}} \) là diện tích tổng của hình ban đầu. - \( S_{\text{không bị gạch}} \) là diện tích của phần không bị gạch. Bước 3: Tính diện tích tổng của hình ban đầu (\( S_{\text{tổng}} \)). Bước 4: Tính diện tích của phần không bị gạch (\( S_{\text{không bị gạch}} \)). Bước 5: Thay các giá trị đã tính vào công thức để tìm diện tích của phần bị gạch (\( S_{\text{bị gạch}} \)). Ví dụ cụ thể: Giả sử diện tích tổng của hình ban đầu là 100 cm² và diện tích của phần không bị gạch là 40 cm². Thì diện tích của phần bị gạch sẽ là: \[ S_{\text{bị gạch}} = 100 \, \text{cm}^2 - 40 \, \text{cm}^2 = 60 \, \text{cm}^2 \] Vậy diện tích của phần bị gạch là 60 cm². Lưu ý: Các giá trị cụ thể của \( S_{\text{tổng}} \) và \( S_{\text{không bị gạch}} \) sẽ phụ thuộc vào dữ liệu đã cho trong bài toán. Câu 14: Để tìm khoảng cách từ điểm \( O(0,0,0) \) đến mặt phẳng \( (P) \) đi qua điểm \( A(1,4,2) \) và song song với mặt phẳng \( (Q): x + 2y + z - 7 = 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình mặt phẳng \( (P) \): Vì \( (P) \) song song với \( (Q) \), chúng có cùng một véctơ pháp tuyến. Mặt phẳng \( (Q) \) có véctơ pháp tuyến là \( \vec{n} = (1, 2, 1) \). Do đó, phương trình của \( (P) \) sẽ có dạng: \[ x + 2y + z + D = 0 \] Để xác định \( D \), ta thay tọa độ của điểm \( A(1,4,2) \) vào phương trình trên: \[ 1 + 2 \cdot 4 + 2 + D = 0 \implies 1 + 8 + 2 + D = 0 \implies 11 + D = 0 \implies D = -11 \] Vậy phương trình của mặt phẳng \( (P) \) là: \[ x + 2y + z - 11 = 0 \] 2. Tính khoảng cách từ điểm \( O(0,0,0) \) đến mặt phẳng \( (P) \): Công thức tính khoảng cách từ một điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d(M, (P)) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Thay \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = 1 \), \( d = -11 \), và tọa độ của điểm \( O(0,0,0) \): \[ d(O, (P)) = \frac{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 11|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{|-11|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{11}{\sqrt{6}} = \frac{11\sqrt{6}}{6} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( O(0,0,0) \) đến mặt phẳng \( (P) \) là: \[ d(O, (P)) = \frac{11\sqrt{6}}{6} \] Câu 15 Để tìm giao điểm \(M\) của đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A(1;4;2)\) và \(B(3;2;-1)\) với mặt phẳng \(Oxy\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vector chỉ phương của đường thẳng \(d\): Vector chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3-1, 2-4, -1-2) = (2, -2, -3) \] 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(1;4;2)\) và có vector chỉ phương \((2, -2, -3)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 4 - 2t \\ z = 2 - 3t \end{cases} \] 3. Tìm tọa độ giao điểm \(M\) của đường thẳng \(d\) với mặt phẳng \(Oxy\): Mặt phẳng \(Oxy\) có phương trình \(z = 0\). Thay \(z = 0\) vào phương trình tham số của đường thẳng \(d\): \[ 2 - 3t = 0 \implies t = \frac{2}{3} \] Thay \(t = \frac{2}{3}\) vào phương trình tham số của đường thẳng \(d\) để tìm tọa độ của điểm \(M\): \[ \begin{cases} x = 1 + 2 \cdot \frac{2}{3} = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3} \\ y = 4 - 2 \cdot \frac{2}{3} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{12}{3} - \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \\ z = 0 \end{cases} \] Vậy tọa độ của điểm \(M\) là: \[ M \left( \frac{7}{3}, \frac{8}{3}, 0 \right) \] Câu 16: Để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), ta sẽ kiểm tra xem chúng có chung điểm nào hay không và nếu không thì chúng có song song hay chéo nhau. Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng - Đường thẳng \(d_1\) có phương trình tham số: \[ d_1: \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + t \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của \(d_1\) là \(\vec{u}_1 = (1, -2, 1)\). - Đường thẳng \(d_2\) có phương trình: \[ d_2: \frac{x-2}{3} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z}{3} \] Vectơ chỉ phương của \(d_2\) là \(\vec{u}_2 = (3, -1, 3)\). Bước 2: Kiểm tra xem hai vectơ chỉ phương có cùng phương hay không Ta kiểm tra xem có tồn tại số thực \(k\) sao cho \(\vec{u}_1 = k \cdot \vec{u}_2\): \[ (1, -2, 1) = k \cdot (3, -1, 3) \] Từ đây ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 1 = 3k \\ -2 = -k \\ 1 = 3k \end{array} \right. \] Giải hệ phương trình này: - Từ \(1 = 3k\) suy ra \(k = \frac{1}{3}\). - Từ \(-2 = -k\) suy ra \(k = 2\). - Từ \(1 = 3k\) suy ra \(k = \frac{1}{3}\). Như vậy, không có giá trị \(k\) nào thỏa mãn cả ba phương trình trên. Do đó, hai vectơ chỉ phương \(\vec{u}_1\) và \(\vec{u}_2\) không cùng phương, tức là hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) không song song. Bước 3: Kiểm tra xem hai đường thẳng có chung điểm nào hay không Ta giả sử hai đường thẳng có chung điểm \((x, y, z)\). Khi đó, ta có: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + t \end{array} \right. \] và \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3s \\ y = 1 - s \\ z = 3s \end{array} \right. \] Bằng cách đặt \(x, y, z\) của hai phương trình bằng nhau, ta có: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2 + t = 2 + 3s \\ 3 - 2t = 1 - s \\ 1 + t = 3s \end{array} \right. \] Giải hệ phương trình này: - Từ \(2 + t = 2 + 3s\) suy ra \(t = 3s\). - Thay \(t = 3s\) vào \(3 - 2t = 1 - s\): \[ 3 - 2(3s) = 1 - s \implies 3 - 6s = 1 - s \implies 2 = 5s \implies s = \frac{2}{5} \] - Thay \(s = \frac{2}{5}\) vào \(t = 3s\): \[ t = 3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5} \] Kiểm tra lại với phương trình thứ ba: \[ 1 + t = 3s \implies 1 + \frac{6}{5} = 3 \cdot \frac{2}{5} \implies \frac{11}{5} = \frac{6}{5} \] Phương trình này không đúng, do đó hai đường thẳng không có điểm chung. Kết luận Hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) không song song và không có điểm chung, nên chúng chéo nhau. Đáp số: Hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) chéo nhau. Câu 17: Để xác định vị trí tương đối của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((D)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) được cho dưới dạng tham số: \[ \frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z}{5} \] Từ đây, ta thấy vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec{u} = (2, 4, 5)\). 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((D)\): Mặt phẳng \((D)\) được cho bởi phương trình: \[ 2x + y - z + 1 = 0 \] Từ phương trình này, ta thấy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((D)\) là \(\vec{n} = (2, 1, -1)\). 3. Kiểm tra vị trí tương đối của \(d\) và \((D)\): Để kiểm tra vị trí tương đối của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((D)\), ta cần kiểm tra xem vectơ chỉ phương của \(d\) có vuông góc với vectơ pháp tuyến của \((D)\) hay không. Nếu hai vectơ này vuông góc, thì đường thẳng \(d\) nằm trong mặt phẳng \((D)\) hoặc song song với nó. Ngược lại, nếu chúng không vuông góc, thì đường thẳng \(d\) cắt mặt phẳng \((D)\). Ta tính tích vô hướng của \(\vec{u}\) và \(\vec{n}\): \[ \vec{u} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot (-1) = 4 + 4 - 5 = 3 \] Vì \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 3 \neq 0\), nên vectơ chỉ phương của \(d\) không vuông góc với vectơ pháp tuyến của \((D)\). Do đó, đường thẳng \(d\) cắt mặt phẳng \((D)\). Kết luận: Đường thẳng \(d\) cắt mặt phẳng \((D)\). Câu 18: Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Câu 19: Tính khoảng cách từ điểm $A(1;4;2)$ đến mặt phẳng $(P): 2x + y - z + 2 = 0$ Bước 1: Xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm $A(x_1, y_1, z_1)$ đến mặt phẳng $(P): ax + by + cz + d = 0$ được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Áp dụng vào bài toán: - Điểm $A(1, 4, 2)$ - Mặt phẳng $(P): 2x + y - z + 2 = 0$ Ta có: \[ d = \frac{|2 \cdot 1 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 + 2|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 + 4 - 2 + 2|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{|6|}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \] Bước 2: Tìm tọa độ của điểm $H$ Điểm $H$ là hình chiếu của điểm $A$ lên mặt phẳng $(P)$. Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n} = (2, 1, -1)$. Phương trình đường thẳng đi qua điểm $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ là: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z - 2}{-1} = t \] Tọa độ của điểm $H$ trên mặt phẳng $(P)$ là: \[ H(1 + 2t, 4 + t, 2 - t) \] Thay vào phương trình mặt phẳng $(P)$: \[ 2(1 + 2t) + (4 + t) - (2 - t) + 2 = 0 \] \[ 2 + 4t + 4 + t - 2 + t + 2 = 0 \] \[ 6t + 6 = 0 \] \[ t = -1 \] Do đó, tọa độ của điểm $H$ là: \[ H(1 + 2(-1), 4 + (-1), 2 - (-1)) = H(-1, 3, 3) \] Bước 3: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến điểm $H$ Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0, 0, 0)$ đến điểm $H(-1, 3, 3)$ là: \[ |\overrightarrow{OH}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9 + 9} = \sqrt{19} \] Đáp số: \[ |\overrightarrow{OH}| = \sqrt{19} \] Câu 20: Để tìm F(x), ta cần tính nguyên hàm của f(x) = $\frac{x^2+3}{x-2}$. Bước 1: Rút gọn phân thức f(x). Ta thực hiện phép chia đa thức: \[ \frac{x^2 + 3}{x - 2} = x + 2 + \frac{7}{x - 2} \] Bước 2: Tính nguyên hàm từng phần. Nguyên hàm của \( x + 2 \): \[ \int (x + 2) \, dx = \frac{x^2}{2} + 2x + C_1 \] Nguyên hàm của \( \frac{7}{x - 2} \): \[ \int \frac{7}{x - 2} \, dx = 7 \ln |x - 2| + C_2 \] Vậy, nguyên hàm tổng của f(x) là: \[ F(x) = \frac{x^2}{2} + 2x + 7 \ln |x - 2| + C \] Bước 3: Xác định hằng số C bằng điều kiện \( F(3) = 2 \). Thay \( x = 3 \) vào F(x): \[ F(3) = \frac{3^2}{2} + 2 \cdot 3 + 7 \ln |3 - 2| + C = 2 \] \[ \frac{9}{2} + 6 + 7 \ln 1 + C = 2 \] \[ \frac{9}{2} + 6 + 0 + C = 2 \] \[ \frac{9}{2} + 6 + C = 2 \] \[ \frac{9}{2} + \frac{12}{2} + C = 2 \] \[ \frac{21}{2} + C = 2 \] \[ C = 2 - \frac{21}{2} \] \[ C = \frac{4}{2} - \frac{21}{2} \] \[ C = -\frac{17}{2} \] Bước 4: Viết lại F(x) với hằng số C đã tìm được. \[ F(x) = \frac{x^2}{2} + 2x + 7 \ln |x - 2| - \frac{17}{2} \] Đáp số: \[ F(x) = \frac{x^2}{2} + 2x + 7 \ln |x - 2| - \frac{17}{2} \]