Cho nửa đường tròn (O,R) đường kính AB . Gọi Ax và By là các tia vuông góc với AB ( Ax , By và nửa đường tròn cùng thuộc một mặt phẳng có bờ là AB ) . Lấy M $\in$ Ax , qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường...

a) Ta có: OM vuông góc AM, ON vuông góc BN, nên tứ giác AMON nội tiếp. Suy ra: $\widehat{MON} = \widehat{MAB} = 90^\circ$ b) Ta có: $\widehat{AMO} = \widehat{BNO} = 90^\circ$. Suy ra: $\widehat{OMA} = \widehat{ONB}$. Mà $\widehat{OMA} + \widehat{OMN} = 90^\circ$, $\widehat{ONB} + \widehat{ONM} = 90^\circ$. Suy ra: $\widehat{OMN} = \widehat{ONM}$. Suy ra: OM = ON. Xét tam giác OMA và ONB có: $\widehat{OMA} = \widehat{ONB}$, OM = ON, $\widehat{MOA} = \widehat{NOB}$. Suy ra: tam giác OMA = tam giác ONB (g.c.g). Suy ra: AM = OB, BN = OA. Mà MN = OM + ON, OA = OB = R. Suy ra: MN = AM + BN. c) Ta có: tam giác OMA = tam giác ONB. Suy ra: $\frac{AM}{OA} = \frac{OB}{BN}$. Suy ra: AM $\cdot$ BN = OA $\cdot$ OB = R^2.