Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( N = a + b \) khi \( a^3 + b^3 = 2 \), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho \( a^3 \) và \( b^3 \): \[ a^3 + b^3 \geq 2ab \sqrt[3]{a^3} \sqrt[3]{b^3} = 2ab \] Bước 2: Thay \( a^3 + b^3 = 2 \) vào bất đẳng thức trên: \[ 2 \geq 2ab \] \[ ab \leq 1 \] Bước 3: Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \( N = a + b \). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho \( a \) và \( b \): \[ (a + b)^2 \leq 2(a^2 + b^2) \] Bước 4: Ta biết rằng: \[ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab \] Bước 5: Thay vào bất đẳng thức: \[ (a + b)^2 \leq 2((a + b)^2 - 2ab) \] \[ (a + b)^2 \leq 2(a + b)^2 - 4ab \] \[ 0 \leq (a + b)^2 - 4ab \] \[ 4ab \leq (a + b)^2 \] Bước 6: Kết hợp với \( ab \leq 1 \): \[ 4 \cdot 1 \leq (a + b)^2 \] \[ 4 \leq (a + b)^2 \] \[ 2 \leq |a + b| \] Bước 7: Do \( a^3 + b^3 = 2 \) và \( a, b \) đều dương hoặc âm, ta có: \[ a + b \leq 2 \] Bước 8: Để \( N = a + b \) đạt giá trị lớn nhất, ta cần \( a = b \). Thay vào \( a^3 + b^3 = 2 \): \[ 2a^3 = 2 \] \[ a^3 = 1 \] \[ a = 1 \] \[ b = 1 \] Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( N = a + b \) là 2, đạt được khi \( a = 1 \) và \( b = 1 \). Đáp số: \( N_{max} = 2 \) khi \( a = 1 \) và \( b = 1 \).