Giup em voi a

Bài 2. a. Với $m=3$, phương trình (1) trở thành: \[ x^2 - x + 1 - 3 = 0 \] \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Phương trình này có dạng $ax^2 + bx + c = 0$. Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 1$, $b = -1$, và $c = -2$. Thay vào công thức nghiệm: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 3}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \] Vậy nghiệm của phương trình là $x = 2$ hoặc $x = -1$. b. Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện: \[ \Delta = b^2 - 4ac > 0 \] Ở đây, $a = 1$, $b = -1$, và $c = 1 - m$. Thay vào: \[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - m) \] \[ \Delta = 1 - 4(1 - m) \] \[ \Delta = 1 - 4 + 4m \] \[ \Delta = 4m - 3 \] Để có hai nghiệm phân biệt, ta cần: \[ 4m - 3 > 0 \] \[ 4m > 3 \] \[ m > \frac{3}{4} \] Theo bài toán, ta cần thỏa mãn: \[ 2 \left( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \right) + x_1 x_2 + 3 = 0 \] Áp dụng định lý Vi-et: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 1 \] \[ x_1 x_2 = \frac{c}{a} = 1 - m \] Thay vào biểu thức: \[ 2 \left( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \right) + x_1 x_2 + 3 = 0 \] \[ 2 \left( \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} \right) + x_1 x_2 + 3 = 0 \] \[ 2 \left( \frac{1}{1 - m} \right) + (1 - m) + 3 = 0 \] \[ \frac{2}{1 - m} + 1 - m + 3 = 0 \] \[ \frac{2}{1 - m} + 4 - m = 0 \] \[ \frac{2}{1 - m} = m - 4 \] Nhân cả hai vế với $(1 - m)$: \[ 2 = (m - 4)(1 - m) \] \[ 2 = m - m^2 - 4 + 4m \] \[ 2 = -m^2 + 5m - 4 \] \[ m^2 - 5m + 6 = 0 \] Phương trình này có dạng $ax^2 + bx + c = 0$. Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 1$, $b = -5$, và $c = 6$. Thay vào công thức nghiệm: \[ m = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \] \[ m = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \] \[ m = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \] \[ m = \frac{5 \pm 1}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ m_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \] \[ m_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \] Kiểm tra điều kiện $m > \frac{3}{4}$: - Với $m = 3$: thỏa mãn. - Với $m = 2$: thỏa mãn. Vậy các giá trị của $m$ là $m = 3$ hoặc $m = 2$. Bài 3. a) Ta có: $Δ=(-4)^2-4×1×(-m^2+3)=16+4m^2-12=4+4m^2>0$ với mọi m. Vậy phương trình () luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Theo bài ra ta có: $x_2=-5x_1$ hay $x_1+x_2=-4x_1$ Theo định lý Viet ta có: $x_1+x_2=4$ Suy ra: $-4x_1=4$ hay $x_1=-1$ Thay vào phương trình () ta có: $1+4-m^2+3=0$ $8-m^2=0$ $m^2=8$ $m=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ hoặc $m=-\sqrt{8}=-2\sqrt{2}$ Vậy $m=2\sqrt{2}$ hoặc $m=-2\sqrt{2}$. Bài 4. a) Ta có: \[ x^2 - 2x - m^2 - 4 = 0 \] Phương trình này có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \) với \( a = 1 \), \( b = -2 \), và \( c = -m^2 - 4 \). Ta tính delta (\( \Delta \)): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m^2 - 4) = 4 + 4(m^2 + 4) = 4 + 4m^2 + 16 = 4m^2 + 20 \] Vì \( 4m^2 \geq 0 \) với mọi giá trị của \( m \), nên \( 4m^2 + 20 > 0 \) với mọi giá trị của \( m \). Do đó, \( \Delta > 0 \) với mọi giá trị của \( m \), suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \( x_1 \) và \( x_2 \). b) Áp dụng công thức Viète: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2 \] \[ x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -m^2 - 4 \] Ta cần tìm \( m \) sao cho: \[ x_1^2 + x_2^2 = 20 \] Ta biết rằng: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \] Thay vào: \[ 20 = 2^2 - 2(-m^2 - 4) \] \[ 20 = 4 + 2m^2 + 8 \] \[ 20 = 2m^2 + 12 \] \[ 2m^2 = 8 \] \[ m^2 = 4 \] \[ m = \pm 2 \] Vậy, giá trị của \( m \) là \( m = 2 \) hoặc \( m = -2 \). Bài 5: a) Ta có: $A=m^2$ và $B=m^2+1>0$ với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm $x_1,x_2$ với mọi m. b) Theo bài ra ta có: $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=-\frac52$ $\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=-\frac52$ $\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=-\frac52$ $\frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}-2=-\frac52$ $\frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}=\frac12$ (1) Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $x_1+x_2=2m$ và $x_1x_2=-m^2-1$ Thay vào (1) ta có: $\frac{4m^2}{-m^2-1}=\frac12$ $8m^2=-m^2-1$ $9m^2=-1$ (loại)