Giúp vs ạ.

Bài 1 a) Tính giá trị biểu thức A khi $x=25$ Thay $x=25$ vào biểu thức $A$, ta có: \[ A = \frac{25 + 2\sqrt{25}}{25 - 1} = \frac{25 + 2 \cdot 5}{24} = \frac{25 + 10}{24} = \frac{35}{24} \] b) Chứng minh $B=\frac{\sqrt x+2}{\sqrt x(\sqrt x+1)}$ Ta có: \[ B = \frac{2}{x} - \frac{2 - x}{x(\sqrt{x} + 1)} \] Quy đồng mẫu số: \[ B = \frac{2(\sqrt{x} + 1) - (2 - x)}{x(\sqrt{x} + 1)} \] \[ B = \frac{2\sqrt{x} + 2 - 2 + x}{x(\sqrt{x} + 1)} \] \[ B = \frac{2\sqrt{x} + x}{x(\sqrt{x} + 1)} \] \[ B = \frac{\sqrt{x}(2 + \sqrt{x})}{x(\sqrt{x} + 1)} \] \[ B = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \] c) Tìm x để biểu thức $\frac{A}{B} > 1$ Điều kiện xác định: $x > 0, x \neq 1$. Ta có: \[ \frac{A}{B} = \frac{\frac{x + 2\sqrt{x}}{x - 1}}{\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}} = \frac{(x + 2\sqrt{x}) \cdot \sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{(x - 1)(\sqrt{x} + 2)} \] \[ \frac{A}{B} = \frac{(x + 2\sqrt{x}) \cdot \sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{(x - 1)(\sqrt{x} + 2)} \] \[ \frac{A}{B} = \frac{(x + 2\sqrt{x}) \cdot (\sqrt{x} + 1)}{(x - 1)(\sqrt{x} + 2)} \] \[ \frac{A}{B} = \frac{x\sqrt{x} + x + 2x + 2\sqrt{x}}{(x - 1)(\sqrt{x} + 2)} \] \[ \frac{A}{B} = \frac{x\sqrt{x} + 3x + 2\sqrt{x}}{(x - 1)(\sqrt{x} + 2)} \] Để $\frac{A}{B} > 1$, ta cần: \[ \frac{x\sqrt{x} + 3x + 2\sqrt{x}}{(x - 1)(\sqrt{x} + 2)} > 1 \] \[ x\sqrt{x} + 3x + 2\sqrt{x} > (x - 1)(\sqrt{x} + 2) \] \[ x\sqrt{x} + 3x + 2\sqrt{x} > x\sqrt{x} + 2x - \sqrt{x} - 2 \] \[ 3x + 2\sqrt{x} > 2x - \sqrt{x} - 2 \] \[ x + 3\sqrt{x} + 2 > 0 \] Biểu thức này luôn đúng với mọi $x > 0$. Do đó, điều kiện để $\frac{A}{B} > 1$ là $x > 1$. Đáp số: a) $A = \frac{35}{24}$ b) Đã chứng minh $B = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}$ c) $x > 1$ Bài 2 a) Điều kiện xác định: \( x \geq -2 \) Phương trình đã cho có thể viết lại thành: \[ \sqrt{9(x+2)} + \sqrt{x+2} - \frac{1}{2}\sqrt{4(x+2)} = 6 \] Nhận thấy rằng: \[ \sqrt{9(x+2)} = 3\sqrt{x+2} \] \[ \frac{1}{2}\sqrt{4(x+2)} = \sqrt{x+2} \] Do đó phương trình trở thành: \[ 3\sqrt{x+2} + \sqrt{x+2} - \sqrt{x+2} = 6 \] \[ 3\sqrt{x+2} = 6 \] \[ \sqrt{x+2} = 2 \] \[ x + 2 = 4 \] \[ x = 2 \] Kiểm tra điều kiện xác định: \( x = 2 \geq -2 \) (thỏa mãn) Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 2 \). b) Điều kiện xác định: \( x \neq -1 \) và \( x \neq 2 \) Phương trình đã cho có thể viết lại thành: \[ \frac{3}{x+1} - \frac{2}{x-2} = \frac{4x-2}{(x+1)(x-2)} \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{3(x-2) - 2(x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{4x-2}{(x+1)(x-2)} \] Bỏ mẫu số chung: \[ 3(x-2) - 2(x+1) = 4x - 2 \] \[ 3x - 6 - 2x - 2 = 4x - 2 \] \[ x - 8 = 4x - 2 \] \[ -8 + 2 = 4x - x \] \[ -6 = 3x \] \[ x = -2 \] Kiểm tra điều kiện xác định: \( x = -2 \neq -1 \) và \( x = -2 \neq 2 \) (thỏa mãn) Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -2 \). c) Điều kiện xác định: \( x \in \mathbb{R} \) Phương trình đã cho có thể viết lại thành: \[ \frac{x-5}{2} - \frac{x-3}{6} < \frac{2x+1}{3} \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{3(x-5) - (x-3)}{6} < \frac{2(2x+1)}{6} \] Bỏ mẫu số chung: \[ 3(x-5) - (x-3) < 2(2x+1) \] \[ 3x - 15 - x + 3 < 4x + 2 \] \[ 2x - 12 < 4x + 2 \] \[ -12 - 2 < 4x - 2x \] \[ -14 < 2x \] \[ x > -7 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \( x > -7 \). Bài 3 1) Gọi số tiền cô Lan đầu tư mua trái phiếu doanh nghiệp là x (triệu đồng, điều kiện: 0 < x < 400). Số tiền cô Lan đầu tư gửi tiết kiệm ngân hàng là: 400 - x (triệu đồng). Tiền lãi cô Lan nhận được từ trái phiếu doanh nghiệp là: $\frac{x \times 8}{100} = \frac{2x}{25}$ (triệu đồng). Tiền lãi cô Lan nhận được từ gửi tiết kiệm ngân hàng là: $\frac{(400 - x) \times 7,5}{100} = \frac{3(400 - x)}{40}$ (triệu đồng). Theo đề bài ta có: \[ x + \frac{2x}{25} + 400 - x + \frac{3(400 - x)}{40} = 431,4 \] \[ \frac{2x}{25} + \frac{3(400 - x)}{40} = 31,4 \] \[ \frac{8x + 15(400 - x)}{200} = 31,4 \] \[ 8x + 6000 - 15x = 6280 \] \[ -7x = 280 \] \[ x = 40 \] Số tiền cô Lan đầu tư mua trái phiếu doanh nghiệp là 40 triệu đồng. Số tiền cô Lan đầu tư gửi tiết kiệm ngân hàng là: 400 - 40 = 360 (triệu đồng). Đáp số: 40 triệu đồng; 360 triệu đồng. 2) Trong 1 ngày, cả hai đội làm được $\frac{1}{15}$ công việc. Trong 1 ngày, đội thứ nhất làm được x phần công việc thì trong 1 ngày đội thứ hai làm được y phần công việc. Theo đề bài ta có: \[ x + y = \frac{1}{15} \] \[ 3x + 5y = \frac{1}{4} \] Từ phương trình thứ nhất ta có: \[ x = \frac{1}{15} - y \] Thay vào phương trình thứ hai ta có: \[ 3(\frac{1}{15} - y) + 5y = \frac{1}{4} \] \[ \frac{1}{5} - 3y + 5y = \frac{1}{4} \] \[ 2y = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \] \[ 2y = \frac{1}{20} \] \[ y = \frac{1}{40} \] Thay vào phương trình \( x + y = \frac{1}{15} \) ta có: \[ x + \frac{1}{40} = \frac{1}{15} \] \[ x = \frac{1}{15} - \frac{1}{40} \] \[ x = \frac{5}{120} \] \[ x = \frac{1}{24} \] Nếu làm riêng thì đội thứ nhất hoàn thành công việc trong số ngày là: \[ 1 : \frac{1}{24} = 24 \text{ (ngày)} \] Nếu làm riêng thì đội thứ hai hoàn thành công việc trong số ngày là: \[ 1 : \frac{1}{40} = 40 \text{ (ngày)} \] Đáp số: Đội thứ nhất: 24 ngày; Đội thứ hai: 40 ngày. Bài 4 1) Khi dây được căng tối đa và tạo góc $40^0$ với phương ngang của mặt đất, ta có thể coi dây diều như một cạnh của tam giác vuông, trong đó chiều cao của diều là một cạnh góc vuông và khoảng cách từ điểm cột dây đến điểm thẳng đứng dưới diều là cạnh kề với góc $40^0$. Ta có: \[ \sin(40^0) = \frac{\text{Chiều cao của diều}}{\text{Dây dài}} \] \[ \sin(40^0) = \frac{h}{60} \] Từ bảng lượng giác hoặc máy tính, ta biết: \[ \sin(40^0) \approx 0,6428 \] Do đó: \[ h = 60 \times 0,6428 \approx 38,57 \text{m} \] Vậy khi đó cánh diều bay cao khoảng 38,57m. 2) Diện tích của mảnh vải hình tròn là: \[ S_{vải} = \pi \times 63^2 = 3969\pi \text{cm}^2 \] Diện tích của mặt bàn là: \[ S_{bàn} = 1849\pi \text{cm}^2 \] Diện tích phần khăn rủ xuống khỏi mép bàn là: \[ S_{rủ} = S_{vải} - S_{bàn} = 3969\pi - 1849\pi = 2120\pi \text{cm}^2 \] Lấy $\pi \approx 3,14$, ta có: \[ S_{rủ} \approx 2120 \times 3,14 = 6656,8 \text{cm}^2 \] Vậy diện tích phần khăn rủ xuống khỏi mép bàn là khoảng 6656,8 cm². 3) a) Ta cần chứng minh các điểm A, D, H, E cùng thuộc một đường tròn. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng góc AHE và góc ADE là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE. - Góc AHE là góc ngoài của tam giác AHD, do đó: \[ \angle AHE = 180^0 - \angle ADH - \angle DAH \] - Góc ADE là góc ngoài của tam giác ADE, do đó: \[ \angle ADE = 180^0 - \angle AED - \angle EAD \] Vì BD và CE là các đường cao, nên: \[ \angle ADH = 90^0 \quad \text{và} \quad \angle AED = 90^0 \] Do đó: \[ \angle AHE = 180^0 - 90^0 - \angle DAH = 90^0 - \angle DAH \] \[ \angle ADE = 180^0 - 90^0 - \angle EAD = 90^0 - \angle EAD \] Vì $\angle DAH = \angle EAD$ (hai góc này đối đỉnh), nên: \[ \angle AHE = \angle ADE \] Vậy các điểm A, D, H, E cùng thuộc một đường tròn. Từ đó, ta có: \[ DE < AH \] b) Ta cần chứng minh $AE \cdot AB = AD \cdot AC$. Xét tam giác ABD và tam giác ACE: - $\angle ADB = \angle AEC = 90^0$ - $\angle BAD = \angle CAE$ (hai góc này đối đỉnh) Do đó, tam giác ABD và tam giác ACE đồng dạng theo tiêu chí góc-góc. Từ đó, ta có: \[ \frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE} \] Nhân cả hai vế với $AE \cdot AC$, ta được: \[ AE \cdot AB = AD \cdot AC \] c) Ta cần chứng minh $BC^2 = BH \cdot BD + CH \cdot CE$. Xét tam giác BHC: - $\angle BHC = 180^0 - \angle BHD - \angle CHD$ Vì BD và CE là các đường cao, nên: \[ \angle BHD = 90^0 \quad \text{và} \quad \angle CHD = 90^0 \] Do đó: \[ \angle BHC = 180^0 - 90^0 - 90^0 = 0^0 \] Vậy tam giác BHC là tam giác vuông tại H. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác BHC, ta có: \[ BC^2 = BH^2 + CH^2 \] Ta cũng có: \[ BH^2 = BH \cdot BD \quad \text{và} \quad CH^2 = CH \cdot CE \] Do đó: \[ BC^2 = BH \cdot BD + CH \cdot CE \] Vậy ta đã chứng minh được $BC^2 = BH \cdot BD + CH \cdot CE$. Bài 5 Gọi số lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ là x (lần, điều kiện: \(0 \leq x < 25\)). Số tiền tăng thêm là \(200000 \times x\) (đồng). Giá cho thuê mỗi căn hộ sau khi tăng là \(4000000 + 200000 \times x\) (đồng). Số căn hộ còn lại có người thuê là \(100 - 4 \times x\) (căn hộ). Lợi nhuận thu được mỗi tháng là: \[A = (4000000 + 200000 \times x) \times (100 - 4 \times x)\] \[= 400000000 - 16000000 \times x + 20000000 \times x - 800000 \times x^2\] \[= 400000000 + 4000000 \times x - 800000 \times x^2\] \[= 400000 \times (1000 + x - x^2)\] \[= 400000 \times (256 + 81 + x - x^2)\] \[= 400000 \times (256 + (9 + x) \times (9 - x))\] \[= 400000 \times (256 + 81 - (x - 9)^2)\] \[= 105600000000 - 400000 \times (x - 9)^2\] \(A\) đạt giá trị lớn nhất khi \((x - 9)^2 = 0\) hay \(x = 9\). Khi đó giá cho thuê mỗi căn hộ là: \[4000000 + 200000 \times 9 = 5800000\text\ (đồng)\] Đáp số: 5 800 000 đồng.