Tính f(pi/6)

Để tính \( F\left( \frac{\pi}{6} \right) \), chúng ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của \( \int \left( \frac{4}{\sin^2 x} - 1 \right) dx \). Ta có: \[ \int \left( \frac{4}{\sin^2 x} - 1 \right) dx = \int \left( 4 \csc^2 x - 1 \right) dx \] Biết rằng: \[ \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C \] Do đó: \[ \int \left( 4 \csc^2 x - 1 \right) dx = 4 \int \csc^2 x \, dx - \int 1 \, dx = 4(-\cot x) - x + C = -4 \cot x - x + C \] Vậy: \[ F(x) = -4 \cot x - x + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \) bằng cách sử dụng điều kiện \( F\left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 \). Thay \( x = \frac{\pi}{4} \) vào \( F(x) \): \[ F\left( \frac{\pi}{4} \right) = -4 \cot \left( \frac{\pi}{4} \right) - \frac{\pi}{4} + C \] Biết rằng: \[ \cot \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 \] Do đó: \[ F\left( \frac{\pi}{4} \right) = -4 \cdot 1 - \frac{\pi}{4} + C = -4 - \frac{\pi}{4} + C \] Theo đề bài, \( F\left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 \), nên: \[ -4 - \frac{\pi}{4} + C = 1 \] \[ C = 1 + 4 + \frac{\pi}{4} = 5 + \frac{\pi}{4} \] Bước 3: Thay \( C \) vào \( F(x) \) để có hàm số \( F(x) \) hoàn chỉnh: \[ F(x) = -4 \cot x - x + 5 + \frac{\pi}{4} \] Bước 4: Tính \( F\left( \frac{\pi}{6} \right) \). Thay \( x = \frac{\pi}{6} \) vào \( F(x) \): \[ F\left( \frac{\pi}{6} \right) = -4 \cot \left( \frac{\pi}{6} \right) - \frac{\pi}{6} + 5 + \frac{\pi}{4} \] Biết rằng: \[ \cot \left( \frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} \] Do đó: \[ F\left( \frac{\pi}{6} \right) = -4 \sqrt{3} - \frac{\pi}{6} + 5 + \frac{\pi}{4} \] Chúng ta cần quy đồng các phân số: \[ \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}, \quad \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{12} \] Do đó: \[ F\left( \frac{\pi}{6} \right) = -4 \sqrt{3} - \frac{2\pi}{12} + 5 + \frac{3\pi}{12} = -4 \sqrt{3} + 5 + \frac{\pi}{12} \] Vậy: \[ F\left( \frac{\pi}{6} \right) = -4 \sqrt{3} + 5 + \frac{\pi}{12} \] Đáp số: \[ F\left( \frac{\pi}{6} \right) = -4 \sqrt{3} + 5 + \frac{\pi}{12} \]