Tính f(pi/6) $\int(\frac4{\sin^2x}-1)dx=f(x),~f(\frac\pi4)=1$,Tính $F(\frac\pi6)=$

Question

Accepted Answer

Để tính $ F\left( \frac{\pi}{6} \right) $, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính nguyên hàm của $ \int \left( \frac{4}{\sin^2 x} - 1 \right) dx $.

Ta có:
$$ \int \left( \frac{4}{\sin^2 x} - 1 \right) dx = \int \left( 4 \csc^2 x - 1 \right) dx $$

Biết rằng:
$$ \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C $$

Do đó:
$$ \int \left( 4 \csc^2 x - 1 \right) dx = 4 \int \csc^2 x \, dx - \int 1 \, dx = 4(-\cot x) - x + C = -4 \cot x - x + C $$

Vậy:
$$ F(x) = -4 \cot x - x + C $$

Bước 2: Xác định hằng số $ C $ bằng cách sử dụng điều kiện $ F\left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 $.

Thay $ x = \frac{\pi}{4} $ vào $ F(x) $:
$$ F\left( \frac{\pi}{4} \right) = -4 \cot \left( \frac{\pi}{4} \right) - \frac{\pi}{4} + C $$

Biết rằng:
$$ \cot \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 $$

Do đó:
$$ F\left( \frac{\pi}{4} \right) = -4 \cdot 1 - \frac{\pi}{4} + C = -4 - \frac{\pi}{4} + C $$

Theo đề bài, $ F\left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 $, nên:
$$ -4 - \frac{\pi}{4} + C = 1 $$
$$ C = 1 + 4 + \frac{\pi}{4} = 5 + \frac{\pi}{4} $$

Bước 3: Thay $ C $ vào $ F(x) $ để có hàm số $ F(x) $ hoàn chỉnh:
$$ F(x) = -4 \cot x - x + 5 + \frac{\pi}{4} $$

Bước 4: Tính $ F\left( \frac{\pi}{6} \right) $.

Thay $ x = \frac{\pi}{6} $ vào $ F(x) $:
$$ F\left( \frac{\pi}{6} \right) = -4 \cot \left( \frac{\pi}{6} \right) - \frac{\pi}{6} + 5 + \frac{\pi}{4} $$

Biết rằng:
$$ \cot \left( \frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} $$

Do đó:
$$ F\left( \frac{\pi}{6} \right) = -4 \sqrt{3} - \frac{\pi}{6} + 5 + \frac{\pi}{4} $$

Chúng ta cần quy đồng các phân số:
$$ \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}, \quad \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{12} $$

Do đó:
$$ F\left( \frac{\pi}{6} \right) = -4 \sqrt{3} - \frac{2\pi}{12} + 5 + \frac{3\pi}{12} = -4 \sqrt{3} + 5 + \frac{\pi}{12} $$

Vậy:
$$ F\left( \frac{\pi}{6} \right) = -4 \sqrt{3} + 5 + \frac{\pi}{12} $$

Đáp số:
$$ F\left( \frac{\pi}{6} \right) = -4 \sqrt{3} + 5 + \frac{\pi}{12} $$