Tính biểu thucqz trên $19)~F(x)=\int\frac{x^3-3x^2+2}xdx,~F(1)=5$,Tính F( 4) e

Question

Accepted Answer

Để tính biểu thức $ F(x) = \int \frac{x^3 - 3x^2 + 2}{x} \, dx $ và tìm giá trị của $ F(4) $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính tích phân $ F(x) $.

$$
F(x) = \int \frac{x^3 - 3x^2 + 2}{x} \, dx
$$

Chúng ta phân tích phân số trong tích phân:

$$
\frac{x^3 - 3x^2 + 2}{x} = x^2 - 3x + \frac{2}{x}
$$

Do đó:

$$
F(x) = \int \left( x^2 - 3x + \frac{2}{x} \right) \, dx
$$

Bước 2: Tính từng phần của tích phân.

$$
F(x) = \int x^2 \, dx - 3 \int x \, dx + 2 \int \frac{1}{x} \, dx
$$

$$
F(x) = \frac{x^3}{3} - 3 \cdot \frac{x^2}{2} + 2 \ln |x| + C
$$

$$
F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2 \ln |x| + C
$$

Bước 3: Xác định hằng số $ C $ bằng cách sử dụng điều kiện $ F(1) = 5 $.

$$
F(1) = \frac{1^3}{3} - \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 2 \ln |1| + C = 5
$$

$$
\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 0 + C = 5
$$

$$
C = 5 - \left( \frac{1}{3} - \frac{3}{2} \right)
$$

$$
C = 5 - \left( \frac{2}{6} - \frac{9}{6} \right)
$$

$$
C = 5 - \left( -\frac{7}{6} \right)
$$

$$
C = 5 + \frac{7}{6}
$$

$$
C = \frac{30}{6} + \frac{7}{6} = \frac{37}{6}
$$

Bước 4: Viết lại $ F(x) $ với hằng số $ C $ đã tìm được.

$$
F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2 \ln |x| + \frac{37}{6}
$$

Bước 5: Tính giá trị của $ F(4) $.

$$
F(4) = \frac{4^3}{3} - \frac{3 \cdot 4^2}{2} + 2 \ln |4| + \frac{37}{6}
$$

$$
F(4) = \frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 16}{2} + 2 \ln 4 + \frac{37}{6}
$$

$$
F(4) = \frac{64}{3} - 24 + 2 \ln 4 + \frac{37}{6}
$$

$$
F(4) = \frac{64}{3} - \frac{72}{3} + 2 \ln 4 + \frac{37}{6}
$$

$$
F(4) = -\frac{8}{3} + 2 \ln 4 + \frac{37}{6}
$$

$$
F(4) = -\frac{16}{6} + 2 \ln 4 + \frac{37}{6}
$$

$$
F(4) = \frac{-16 + 37}{6} + 2 \ln 4
$$

$$
F(4) = \frac{21}{6} + 2 \ln 4
$$

$$
F(4) = \frac{7}{2} + 2 \ln 4
$$

Vậy giá trị của $ F(4) $ là:

$$
F(4) = \frac{7}{2} + 2 \ln 4
$$