Giúp mình với! Đại số 12 - Chương 4 - Nguyên hàm. Tích phân - Bài tập theo chương trình mới 2025,$ extcircled{C.}~\frac1{12}x^4-\frac23x^3+\frac{x^2}2-2024x+C.$ $D.~\frac19x^4+\frac23x^3-\frac{x^2}2-2024x+C.$,Câu 9. Tìm nguyên $F(x)$ của hàm số $f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)?$,$A.~F(x)=\frac{x^4}4-6x^3+\frac{11}2x^2-6x+C.$ $B.~F(x)=x^4+6x^3+11x^2+6x+C.$,$C.~F(x)=\frac{x^4}4+2x^3+\frac{11}2x^2+6x+C.$ $D.~F(x)=x^3+6x^2+11x^2+6x+C.$,Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=(5x+3)^5.$,$A.~(5x+3)^6+C.$ $B.~(5x+3)^4+C.$ $C.~\frac{(5x+3)^6}{30}+C.$ $D.~\frac{(5x+3)^4}{30}+C.$,Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^2+\frac2{x^2}.$,$A.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3+\frac1x+C.$ $B.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3-\frac2x+C.$,$C.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3-\frac1x+C.$ $D.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3+\frac2x+C.$,Câu 12. Tính $\int\sqrt{x\sqrt{x\sqrt x}}dx.$,$A.~\frac4{15}x\sqrt[15]{x^7}+C.$ $B.~\frac8{15}x\sqrt[15]{x^7}+C.$ $C.~\frac8{15}x\sqrt[15]x+C.$ $D.~\frac4{15}x\sqrt[15]x+C.$,Câu 13. Tính $\int\frac{\sqrt x-2\sqrt[3]{x^2}+1}{\sqrt[4]x}dx.$,$A.~x\sqrt[5]x-2x\sqrt[12]{x^5}+\sqrt[4]{x^3}+C.$ $B.~\frac45x\sqrt[5]x-\frac{24}{17}x\sqrt[17]{x^5}+\frac43\sqrt[4]{x^3}+C.$,$C.~x\sqrt[5]x-\frac{24}{17}x\sqrt[12]{x^5}+\sqrt[4]{x^3}+C.$ $D.~\frac45x\sqrt[5]x-2x\sqrt[17]{x^5}+\frac43\sqrt[4]{x^3}+C.$,Câu 14. Cho hàm số $f(x)=x^2+4.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?,$A.~\int f(x)dx=2x+C.$ $B.~\int f(x)dx=x^2+4x+C.$,$C.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3+4x+C.$ $D.~\int f(x)dx=x^3+4x+C.$,Câu 15. Trên khoảng $(0;+\infty),$ cho hàm số $f(x)=x^{\frac32},$ Mệnh đề nào sau đây đúng?,$A.~\int f(x)dx=\frac32x^{\frac12}+C.$ $B.~\int f(x)dx=\int\sqrt{x^3}dx.$,$C.~\int f(x)dx=\frac25x^{\frac52}+C.$ $D.~\int f(x)dx=\frac23x^{\frac12}+C.$,Câu 16. Cho hàm số $f(x)=\frac{x^4+2}{x^2}.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Question

Giúp mình với! Đại số 12 - Chương 4 - Nguyên hàm. Tích phân - Bài tập theo chương trình mới 2025,$	extcircled{C.}~\frac1{12}x^4-\frac23x^3+\frac{x^2}2-2024x+C.$ $D.~\frac19x^4+\frac23x^3-\frac{x^2}2-2024x+C.$,Câu 9. Tìm nguyên $F(x)$ của hàm số $f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)?$,$A.~F(x)=\frac{x^4}4-6x^3+\frac{11}2x^2-6x+C.$ $B.~F(x)=x^4+6x^3+11x^2+6x+C.$,$C.~F(x)=\frac{x^4}4+2x^3+\frac{11}2x^2+6x+C.$ $D.~F(x)=x^3+6x^2+11x^2+6x+C.$,Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=(5x+3)^5.$,$A.~(5x+3)^6+C.$ $B.~(5x+3)^4+C.$ $C.~\frac{(5x+3)^6}{30}+C.$ $D.~\frac{(5x+3)^4}{30}+C.$,Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^2+\frac2{x^2}.$,$A.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3+\frac1x+C.$ $B.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3-\frac2x+C.$,$C.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3-\frac1x+C.$ $D.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3+\frac2x+C.$,Câu 12. Tính $\int\sqrt{x\sqrt{x\sqrt x}}dx.$,$A.~\frac4{15}x\sqrt[15]{x^7}+C.$ $B.~\frac8{15}x\sqrt[15]{x^7}+C.$ $C.~\frac8{15}x\sqrt[15]x+C.$ $D.~\frac4{15}x\sqrt[15]x+C.$,Câu 13. Tính $\int\frac{\sqrt x-2\sqrt[3]{x^2}+1}{\sqrt[4]x}dx.$,$A.~x\sqrt[5]x-2x\sqrt[12]{x^5}+\sqrt[4]{x^3}+C.$ $B.~\frac45x\sqrt[5]x-\frac{24}{17}x\sqrt[17]{x^5}+\frac43\sqrt[4]{x^3}+C.$,$C.~x\sqrt[5]x-\frac{24}{17}x\sqrt[12]{x^5}+\sqrt[4]{x^3}+C.$ $D.~\frac45x\sqrt[5]x-2x\sqrt[17]{x^5}+\frac43\sqrt[4]{x^3}+C.$,Câu 14. Cho hàm số $f(x)=x^2+4.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?,$A.~\int f(x)dx=2x+C.$ $B.~\int f(x)dx=x^2+4x+C.$,$C.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3+4x+C.$ $D.~\int f(x)dx=x^3+4x+C.$,Câu 15. Trên khoảng $(0;+\infty),$ cho hàm số $f(x)=x^{\frac32},$ Mệnh đề nào sau đây đúng?,$A.~\int f(x)dx=\frac32x^{\frac12}+C.$ $B.~\int f(x)dx=\int\sqrt{x^3}dx.$,$C.~\int f(x)dx=\frac25x^{\frac52}+C.$ $D.~\int f(x)dx=\frac23x^{\frac12}+C.$,Câu 16. Cho hàm số $f(x)=\frac{x^4+2}{x^2}.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Accepted Answer

Câu 9.
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = (x+1)(x+2)(x+3) $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Nhân các đa thức để đơn giản hóa biểu thức:
$$ f(x) = (x+1)(x+2)(x+3) $$

Nhân từng cặp:
$$ (x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2 $$

Tiếp tục nhân với $ (x+3) $:
$$ (x^2 + 3x + 2)(x+3) = x^3 + 3x^2 + 3x^2 + 9x + 2x + 6 = x^3 + 6x^2 + 11x + 6 $$

Bước 2: Tìm nguyên hàm của biểu thức đã đơn giản hóa:
$$ F(x) = \int (x^3 + 6x^2 + 11x + 6) \, dx $$

Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần:
$$ F(x) = \int x^3 \, dx + \int 6x^2 \, dx + \int 11x \, dx + \int 6 \, dx $$

Tính từng nguyên hàm riêng lẻ:
$$ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} $$
$$ \int 6x^2 \, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3 $$
$$ \int 11x \, dx = 11 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{11}{2}x^2 $$
$$ \int 6 \, dx = 6x $$

Gộp lại:
$$ F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x^3 + \frac{11}{2}x^2 + 6x + C $$

Vậy đáp án đúng là:
C. $ F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x^3 + \frac{11}{2}x^2 + 6x + C $.

Câu 10.
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = (5x + 3)^5 $, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nguyên hàm của hàm hợp.

Bước 1: Xác định u và u'.
- Đặt $ u = 5x + 3 $. 
- Khi đó, $ u' = 5 $.

Bước 2: Tìm nguyên hàm của $ u^5 $.
- Nguyên hàm của $ u^5 $ là $ \frac{u^6}{6} $.

Bước 3: Thay $ u = 5x + 3 $ vào và nhân thêm với $ \frac{1}{u'} $.
- Nguyên hàm của $ (5x + 3)^5 $ là $ \frac{(5x + 3)^6}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{(5x + 3)^6}{30} $.

Bước 4: Viết thêm hằng số $ C $ vào kết quả.
- Kết quả cuối cùng là $ \frac{(5x + 3)^6}{30} + C $.

Vậy, nguyên hàm của hàm số $ f(x) = (5x + 3)^5 $ là:
$$ \frac{(5x + 3)^6}{30} + C $$

Đáp án đúng là: C. $ \frac{(5x + 3)^6}{30} + C $.

Câu 11.
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tách hàm số thành hai phần riêng biệt:
$$ f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} $$

Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi phần riêng biệt:
- Nguyên hàm của $ x^2 $:
$$ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 $$
- Nguyên hàm của $ \frac{2}{x^2} $:
$$ \int \frac{2}{x^2} \, dx = 2 \int x^{-2} \, dx = 2 \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) + C_2 = -\frac{2}{x} + C_2 $$

Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm lại:
$$ \int f(x) \, dx = \int x^2 \, dx + \int \frac{2}{x^2} \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 - \frac{2}{x} + C_2 $$

Bước 4: Gộp hằng số $ C_1 $ và $ C_2 $ thành một hằng số tổng quát $ C $:
$$ \int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C $$

Vậy nguyên hàm của hàm số $ f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} $ là:
$$ \int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C $$

Do đó, đáp án đúng là:
B. $\int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C$.

Câu 12.
Để tính $\int\sqrt{x\sqrt{x\sqrt x}}dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Rút gọn biểu thức trong dấu tích phân:
$$
\sqrt{x\sqrt{x\sqrt x}} = \sqrt{x\sqrt{x^{1+\frac{1}{2}}}} = \sqrt{x\sqrt{x^{\frac{3}{2}}}} = \sqrt{x \cdot x^{\frac{3}{4}}} = \sqrt{x^{1 + \frac{3}{4}}} = \sqrt{x^{\frac{7}{4}}} = x^{\frac{7}{8}}
$$

Bước 2: Tính tích phân của $x^{\frac{7}{8}}$:
$$
\int x^{\frac{7}{8}} dx = \frac{x^{\frac{7}{8} + 1}}{\frac{7}{8} + 1} + C = \frac{x^{\frac{15}{8}}}{\frac{15}{8}} + C = \frac{8}{15} x^{\frac{15}{8}} + C
$$

Bước 3: Viết lại kết quả dưới dạng căn lũy thừa:
$$
\frac{8}{15} x^{\frac{15}{8}} + C = \frac{8}{15} x \cdot x^{\frac{7}{8}} + C = \frac{8}{15} x \sqrt[8]{x^7} + C
$$

Do đó, đáp án đúng là:
B. $\frac{8}{15} x \sqrt[15]{x^7} + C$

Đáp án: B. $\frac{8}{15} x \sqrt[15]{x^7} + C$

Câu 13.
Để tính tích phân $\int\frac{\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x^2}+1}{\sqrt[4]{x}}dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Rút gọn biểu thức trong tích phân:
$$
\frac{\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x^2}+1}{\sqrt[4]{x}} = \frac{x^{1/2} - 2x^{2/3} + 1}{x^{1/4}}
$$

Bước 2: Chia từng hạng tử trong tử số cho mẫu số:
$$
= x^{1/2 - 1/4} - 2x^{2/3 - 1/4} + x^{-1/4}
$$
$$
= x^{(2-1)/4} - 2x^{(8-3)/12} + x^{-1/4}
$$
$$
= x^{1/4} - 2x^{5/12} + x^{-1/4}
$$

Bước 3: Tính tích phân từng hạng tử:
$$
\int x^{1/4} dx = \frac{x^{1/4 + 1}}{1/4 + 1} = \frac{x^{5/4}}{5/4} = \frac{4}{5}x^{5/4}
$$
$$
\int -2x^{5/12} dx = -2 \cdot \frac{x^{5/12 + 1}}{5/12 + 1} = -2 \cdot \frac{x^{17/12}}{17/12} = -2 \cdot \frac{12}{17}x^{17/12} = -\frac{24}{17}x^{17/12}
$$
$$
\int x^{-1/4} dx = \frac{x^{-1/4 + 1}}{-1/4 + 1} = \frac{x^{3/4}}{3/4} = \frac{4}{3}x^{3/4}
$$

Bước 4: Kết hợp các kết quả lại:
$$
\int \left( x^{1/4} - 2x^{5/12} + x^{-1/4} \right) dx = \frac{4}{5}x^{5/4} - \frac{24}{17}x^{17/12} + \frac{4}{3}x^{3/4} + C
$$

Vậy đáp án đúng là:
B. $\frac{4}{5}x\sqrt[5]{x} - \frac{24}{17}x\sqrt[17]{x^5} + \frac{4}{3}\sqrt[4]{x^3} + C$.

Câu 14.
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = x^2 + 4 $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần trong hàm số.

- Nguyên hàm của $ x^2 $ là $ \frac{x^3}{3} $.
- Nguyên hàm của hằng số 4 là $ 4x $.

Bước 2: Cộng các nguyên hàm lại và thêm hằng số $ C $.

Do đó, nguyên hàm của $ f(x) = x^2 + 4 $ là:
$$ \int f(x) \, dx = \int (x^2 + 4) \, dx = \frac{x^3}{3} + 4x + C $$

Vậy mệnh đề đúng là:
C. $ \int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} + 4x + C $

Đáp án: C. $ \int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} + 4x + C $

Câu 15.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số $ f(x) = x^{\frac{3}{2}} $.

Bước 1: Xác định nguyên hàm của $ f(x) $.

Nguyên hàm của $ x^n $ là $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $. Áp dụng vào hàm số $ f(x) = x^{\frac{3}{2}} $:

$$ \int f(x) \, dx = \int x^{\frac{3}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{3}{2} + 1}}{\frac{3}{2} + 1} + C = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C $$

Bước 2: So sánh với các lựa chọn đã cho.

A. $ \int f(x) \, dx = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + C $

B. $ \int f(x) \, dx = \int \sqrt{x^3} \, dx $

C. $ \int f(x) \, dx = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C $

D. $ \int f(x) \, dx = \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + C $

Như vậy, mệnh đề đúng là:

C. $ \int f(x) \, dx = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C $

Đáp án: C. $ \int f(x) \, dx = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C $

Câu 16.
Để giải quyết câu hỏi về hàm số $ f(x) = \frac{x^4 + 2}{x^2} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm miền xác định của hàm số:
   Hàm số $ f(x) = \frac{x^4 + 2}{x^2} $ có mẫu số là $ x^2 $. Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0:
   $$
   x^2 \neq 0 \implies x \neq 0
   $$
   Vậy miền xác định của hàm số là $ x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} $.

2. Rút gọn biểu thức hàm số:
   Ta có thể rút gọn biểu thức như sau:
   $$
   f(x) = \frac{x^4 + 2}{x^2} = \frac{x^4}{x^2} + \frac{2}{x^2} = x^2 + \frac{2}{x^2}
   $$

3. Tìm giá trị cực tiểu của hàm số:
   Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số $ f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} $, ta tính đạo hàm của hàm số:
   $$
   f'(x) = \frac{d}{dx}\left( x^2 + \frac{2}{x^2} \right) = 2x - \frac{4}{x^3}
   $$
   Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị:
   $$
   2x - \frac{4}{x^3} = 0 \implies 2x = \frac{4}{x^3} \implies 2x^4 = 4 \implies x^4 = 2 \implies x = \pm \sqrt[4]{2}
   $$

4. Kiểm tra tính chất của các điểm cực trị:
   Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai để xác định tính chất của các điểm cực trị:
   $$
   f''(x) = \frac{d}{dx}\left( 2x - \frac{4}{x^3} \right) = 2 + \frac{12}{x^4}
   $$
   Tại $ x = \sqrt[4]{2} $:
   $$
   f''(\sqrt[4]{2}) = 2 + \frac{12}{(\sqrt[4]{2})^4} = 2 + \frac{12}{2} = 2 + 6 = 8 > 0
   $$
   Tại $ x = -\sqrt[4]{2} $:
   $$
   f''(-\sqrt[4]{2}) = 2 + \frac{12}{(-\sqrt[4]{2})^4} = 2 + \frac{12}{2} = 2 + 6 = 8 > 0
   $$
   Vì đạo hàm thứ hai dương tại cả hai điểm, nên cả hai điểm đều là điểm cực tiểu.

5. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực tiểu:
   $$
   f(\sqrt[4]{2}) = (\sqrt[4]{2})^2 + \frac{2}{(\sqrt[4]{2})^2} = \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}
   $$
   $$
   f(-\sqrt[4]{2}) = (-\sqrt[4]{2})^2 + \frac{2}{(-\sqrt[4]{2})^2} = \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}
   $$

Vậy giá trị cực tiểu của hàm số $ f(x) = \frac{x^4 + 2}{x^2} $ là $ 2\sqrt{2} $, đạt được khi $ x = \pm \sqrt[4]{2} $.

Đáp án: Giá trị cực tiểu của hàm số là $ 2\sqrt{2} $, đạt được khi $ x = \pm \sqrt[4]{2} $.