Giúp mình với!

Câu 9. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = (x+1)(x+2)(x+3) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân các đa thức để đơn giản hóa biểu thức: \[ f(x) = (x+1)(x+2)(x+3) \] Nhân từng cặp: \[ (x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2 \] Tiếp tục nhân với \( (x+3) \): \[ (x^2 + 3x + 2)(x+3) = x^3 + 3x^2 + 3x^2 + 9x + 2x + 6 = x^3 + 6x^2 + 11x + 6 \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của biểu thức đã đơn giản hóa: \[ F(x) = \int (x^3 + 6x^2 + 11x + 6) \, dx \] Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần: \[ F(x) = \int x^3 \, dx + \int 6x^2 \, dx + \int 11x \, dx + \int 6 \, dx \] Tính từng nguyên hàm riêng lẻ: \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \] \[ \int 6x^2 \, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3 \] \[ \int 11x \, dx = 11 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{11}{2}x^2 \] \[ \int 6 \, dx = 6x \] Gộp lại: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x^3 + \frac{11}{2}x^2 + 6x + C \] Vậy đáp án đúng là: C. \( F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x^3 + \frac{11}{2}x^2 + 6x + C \). Câu 10. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = (5x + 3)^5 \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nguyên hàm của hàm hợp. Bước 1: Xác định u và u'. - Đặt \( u = 5x + 3 \). - Khi đó, \( u' = 5 \). Bước 2: Tìm nguyên hàm của \( u^5 \). - Nguyên hàm của \( u^5 \) là \( \frac{u^6}{6} \). Bước 3: Thay \( u = 5x + 3 \) vào và nhân thêm với \( \frac{1}{u'} \). - Nguyên hàm của \( (5x + 3)^5 \) là \( \frac{(5x + 3)^6}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{(5x + 3)^6}{30} \). Bước 4: Viết thêm hằng số \( C \) vào kết quả. - Kết quả cuối cùng là \( \frac{(5x + 3)^6}{30} + C \). Vậy, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = (5x + 3)^5 \) là: \[ \frac{(5x + 3)^6}{30} + C \] Đáp án đúng là: C. \( \frac{(5x + 3)^6}{30} + C \). Câu 11. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tách hàm số thành hai phần riêng biệt: \[ f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi phần riêng biệt: - Nguyên hàm của \( x^2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 \] - Nguyên hàm của \( \frac{2}{x^2} \): \[ \int \frac{2}{x^2} \, dx = 2 \int x^{-2} \, dx = 2 \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) + C_2 = -\frac{2}{x} + C_2 \] Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm lại: \[ \int f(x) \, dx = \int x^2 \, dx + \int \frac{2}{x^2} \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 - \frac{2}{x} + C_2 \] Bước 4: Gộp hằng số \( C_1 \) và \( C_2 \) thành một hằng số tổng quát \( C \): \[ \int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} \) là: \[ \int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. $\int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C$. Câu 12. Để tính $\int\sqrt{x\sqrt{x\sqrt x}}dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức trong dấu tích phân: \[ \sqrt{x\sqrt{x\sqrt x}} = \sqrt{x\sqrt{x^{1+\frac{1}{2}}}} = \sqrt{x\sqrt{x^{\frac{3}{2}}}} = \sqrt{x \cdot x^{\frac{3}{4}}} = \sqrt{x^{1 + \frac{3}{4}}} = \sqrt{x^{\frac{7}{4}}} = x^{\frac{7}{8}} \] Bước 2: Tính tích phân của $x^{\frac{7}{8}}$: \[ \int x^{\frac{7}{8}} dx = \frac{x^{\frac{7}{8} + 1}}{\frac{7}{8} + 1} + C = \frac{x^{\frac{15}{8}}}{\frac{15}{8}} + C = \frac{8}{15} x^{\frac{15}{8}} + C \] Bước 3: Viết lại kết quả dưới dạng căn lũy thừa: \[ \frac{8}{15} x^{\frac{15}{8}} + C = \frac{8}{15} x \cdot x^{\frac{7}{8}} + C = \frac{8}{15} x \sqrt[8]{x^7} + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. $\frac{8}{15} x \sqrt[15]{x^7} + C$ Đáp án: B. $\frac{8}{15} x \sqrt[15]{x^7} + C$ Câu 13. Để tính tích phân $\int\frac{\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x^2}+1}{\sqrt[4]{x}}dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức trong tích phân: \[ \frac{\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x^2}+1}{\sqrt[4]{x}} = \frac{x^{1/2} - 2x^{2/3} + 1}{x^{1/4}} \] Bước 2: Chia từng hạng tử trong tử số cho mẫu số: \[ = x^{1/2 - 1/4} - 2x^{2/3 - 1/4} + x^{-1/4} \] \[ = x^{(2-1)/4} - 2x^{(8-3)/12} + x^{-1/4} \] \[ = x^{1/4} - 2x^{5/12} + x^{-1/4} \] Bước 3: Tính tích phân từng hạng tử: \[ \int x^{1/4} dx = \frac{x^{1/4 + 1}}{1/4 + 1} = \frac{x^{5/4}}{5/4} = \frac{4}{5}x^{5/4} \] \[ \int -2x^{5/12} dx = -2 \cdot \frac{x^{5/12 + 1}}{5/12 + 1} = -2 \cdot \frac{x^{17/12}}{17/12} = -2 \cdot \frac{12}{17}x^{17/12} = -\frac{24}{17}x^{17/12} \] \[ \int x^{-1/4} dx = \frac{x^{-1/4 + 1}}{-1/4 + 1} = \frac{x^{3/4}}{3/4} = \frac{4}{3}x^{3/4} \] Bước 4: Kết hợp các kết quả lại: \[ \int \left( x^{1/4} - 2x^{5/12} + x^{-1/4} \right) dx = \frac{4}{5}x^{5/4} - \frac{24}{17}x^{17/12} + \frac{4}{3}x^{3/4} + C \] Vậy đáp án đúng là: B. $\frac{4}{5}x\sqrt[5]{x} - \frac{24}{17}x\sqrt[17]{x^5} + \frac{4}{3}\sqrt[4]{x^3} + C$. Câu 14. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 + 4 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần trong hàm số. - Nguyên hàm của \( x^2 \) là \( \frac{x^3}{3} \). - Nguyên hàm của hằng số 4 là \( 4x \). Bước 2: Cộng các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \). Do đó, nguyên hàm của \( f(x) = x^2 + 4 \) là: \[ \int f(x) \, dx = \int (x^2 + 4) \, dx = \frac{x^3}{3} + 4x + C \] Vậy mệnh đề đúng là: C. \( \int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} + 4x + C \) Đáp án: C. \( \int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} + 4x + C \) Câu 15. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^{\frac{3}{2}} \). Bước 1: Xác định nguyên hàm của \( f(x) \). Nguyên hàm của \( x^n \) là \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \). Áp dụng vào hàm số \( f(x) = x^{\frac{3}{2}} \): \[ \int f(x) \, dx = \int x^{\frac{3}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{3}{2} + 1}}{\frac{3}{2} + 1} + C = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C \] Bước 2: So sánh với các lựa chọn đã cho. A. \( \int f(x) \, dx = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + C \) B. \( \int f(x) \, dx = \int \sqrt{x^3} \, dx \) C. \( \int f(x) \, dx = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C \) D. \( \int f(x) \, dx = \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + C \) Như vậy, mệnh đề đúng là: C. \( \int f(x) \, dx = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C \) Đáp án: C. \( \int f(x) \, dx = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C \) Câu 16. Để giải quyết câu hỏi về hàm số \( f(x) = \frac{x^4 + 2}{x^2} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm miền xác định của hàm số: Hàm số \( f(x) = \frac{x^4 + 2}{x^2} \) có mẫu số là \( x^2 \). Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0: \[ x^2 \neq 0 \implies x \neq 0 \] Vậy miền xác định của hàm số là \( x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \). 2. Rút gọn biểu thức hàm số: Ta có thể rút gọn biểu thức như sau: \[ f(x) = \frac{x^4 + 2}{x^2} = \frac{x^4}{x^2} + \frac{2}{x^2} = x^2 + \frac{2}{x^2} \] 3. Tìm giá trị cực tiểu của hàm số: Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số \( f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} \), ta tính đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left( x^2 + \frac{2}{x^2} \right) = 2x - \frac{4}{x^3} \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị: \[ 2x - \frac{4}{x^3} = 0 \implies 2x = \frac{4}{x^3} \implies 2x^4 = 4 \implies x^4 = 2 \implies x = \pm \sqrt[4]{2} \] 4. Kiểm tra tính chất của các điểm cực trị: Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai để xác định tính chất của các điểm cực trị: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}\left( 2x - \frac{4}{x^3} \right) = 2 + \frac{12}{x^4} \] Tại \( x = \sqrt[4]{2} \): \[ f''(\sqrt[4]{2}) = 2 + \frac{12}{(\sqrt[4]{2})^4} = 2 + \frac{12}{2} = 2 + 6 = 8 > 0 \] Tại \( x = -\sqrt[4]{2} \): \[ f''(-\sqrt[4]{2}) = 2 + \frac{12}{(-\sqrt[4]{2})^4} = 2 + \frac{12}{2} = 2 + 6 = 8 > 0 \] Vì đạo hàm thứ hai dương tại cả hai điểm, nên cả hai điểm đều là điểm cực tiểu. 5. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực tiểu: \[ f(\sqrt[4]{2}) = (\sqrt[4]{2})^2 + \frac{2}{(\sqrt[4]{2})^2} = \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \] \[ f(-\sqrt[4]{2}) = (-\sqrt[4]{2})^2 + \frac{2}{(-\sqrt[4]{2})^2} = \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \] Vậy giá trị cực tiểu của hàm số \( f(x) = \frac{x^4 + 2}{x^2} \) là \( 2\sqrt{2} \), đạt được khi \( x = \pm \sqrt[4]{2} \). Đáp án: Giá trị cực tiểu của hàm số là \( 2\sqrt{2} \), đạt được khi \( x = \pm \sqrt[4]{2} \).