Xin cách giải

Câu 2: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự. a) Tập xác định của hàm số Hàm số $y = \frac{x^2 + 4x + 5}{x + 2}$ có mẫu số là $x + 2$. Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0: \[ x + 2 \neq 0 \] \[ x \neq -2 \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{-2\} \] Đáp án đúng. b) Kiểm tra tính đồng biến của hàm số Để kiểm tra tính đồng biến của hàm số, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số: \[ y = \frac{x^2 + 4x + 5}{x + 2} \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(x^2 + 4x + 5)'(x + 2) - (x^2 + 4x + 5)(x + 2)'}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{(2x + 4)(x + 2) - (x^2 + 4x + 5)}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 4x + 4x + 8 - x^2 - 4x - 5}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)^2} \] Đạo hàm $y'$ sẽ dương khi $(x + 1)(x + 3) > 0$ và $(x + 2)^2 > 0$ (luôn luôn dương ngoại trừ tại $x = -2$). Giải bất phương trình $(x + 1)(x + 3) > 0$: - $(x + 1) > 0$ và $(x + 3) > 0$: $x > -1$ - $(x + 1) < 0$ và $(x + 3) < 0$: $x < -3$ Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty, -3)$ và $(-1, \infty)$. Đáp án sai vì hàm số không đồng biến trên khoảng $(-2, 3)$. c) Tìm tiệm cận xiên của hàm số Ta thực hiện phép chia đa thức: \[ \frac{x^2 + 4x + 5}{x + 2} = x + 2 + \frac{1}{x + 2} \] Khi $x \to \pm \infty$, $\frac{1}{x + 2} \to 0$. Vậy tiệm cận xiên của hàm số là: \[ y = x + 2 \] Đáp án sai vì tiệm cận xiên là $y = x + 2$, không phải $y = x + 3$. d) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + 4x + 5}{x + 2}$ nằm trên đường thẳng $2x - y + 4 = 0$. Để kiểm tra điều này, ta cần tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Tâm đối xứng của hàm số phân thức bậc hai thường nằm ở giao điểm của đường thẳng đi qua đỉnh của đồ thị và đường thẳng đi qua tâm đối xứng. Từ việc phân tích trên, ta thấy rằng tâm đối xứng của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng $2x - y + 4 = 0$. Đáp án đúng. Kết luận Các đáp án đúng là: a) Hàm số có tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$. d) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng nằm trên đường thẳng $2x - y + 4 = 0$. Câu 3: a) Ta có: $f(0)=2\cos 0+0=2$ $f(\frac{\pi}{2})=2\cos \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$ b) Đạo hàm của hàm số đã cho là: $f'(x)=(2\cos x + x)' = -2\sin x + 1$ c) Phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $[0; \pi]$: $-2\sin x + 1 = 0$ $\sin x = \frac{1}{2}$ Trên đoạn $[0; \pi]$, phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$ có nghiệm duy nhất là $x = \frac{\pi}{6}$. d) Để tìm giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0; \pi]$, ta xét các giá trị của $f(x)$ tại các điểm biên và điểm cực trị: - Tại $x = 0$: $f(0) = 2$ - Tại $x = \frac{\pi}{6}$: $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cos \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$ - Tại $x = \pi$: $f(\pi) = 2\cos \pi + \pi = 2(-1) + \pi = \pi - 2$ So sánh các giá trị: - $f(0) = 2$ - $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$ - $f(\pi) = \pi - 2$ Ta thấy rằng $\sqrt{3} + \frac{\pi}{6} > 2$ và $\sqrt{3} + \frac{\pi}{6} > \pi - 2$. Do đó, giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0; \pi]$ là $\sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$, đạt được khi $x = \frac{\pi}{6}$. Đáp số: Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0; \pi]$ là $\sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$, đạt được khi $x = \frac{\pi}{6}$. Câu 4: a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;-3;3)$ nên mệnh đề này đúng. b) Ta có $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-3)^2+(-3)^2+3^2}=3\sqrt3$ nên mệnh đề này sai. c) Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow0$ suy ra $\overrightarrow{CM}=-\overrightarrow{AB}=(3;3;-3)$ Lại có $\overrightarrow{CM}=(x;y-2;z-3)$ nên ta có $x=3,y-2=3,z-3=-3$ suy ra $x=3,y=5,z=0.$ Vậy $M(3;5;0)$ nên mệnh đề này sai. d) Vì N thuộc mặt phẳng (Oxy) nên tọa độ của N có dạng $(x;y;0).$ Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;-3;3)$ và $\overrightarrow{AN}=(x-4;y-2;1).$ A,B,N thẳng hàng nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AN}$ cùng phương suy ra $\frac{x-4}{-3}=\frac{y-2}{-3}=\frac{1}{3}$ Từ đây ta tìm được $x=3,y=1$ nên $N(3;1;0).$ Vậy mệnh đề này đúng.