Giup minh voi

Câu 16. Để tính đạo hàm của \( F(x) = \ln(x - \sqrt{x^2 + 2}) \), ta áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lôgarit tự nhiên và chuỗi đạo hàm. Bước 1: Xác định hàm con \( u(x) = x - \sqrt{x^2 + 2} \). Bước 2: Tính đạo hàm của hàm con \( u(x) \): \[ u'(x) = 1 - \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 + 2}) \] Áp dụng công thức đạo hàm của căn bậc hai: \[ \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 + 2}) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 2) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}} \] Do đó: \[ u'(x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}} \] Bước 3: Áp dụng công thức đạo hàm của hàm lôgarit tự nhiên: \[ F'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}}}{x - \sqrt{x^2 + 2}} \] Rút gọn biểu thức: \[ F'(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 2} - x}{(x - \sqrt{x^2 + 2})\sqrt{x^2 + 2}} = \frac{-1}{\sqrt{x^2 + 2}} \] Như vậy, ta đã tìm được đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = -\frac{1}{\sqrt{x^2 + 2}} \] Bây giờ, để suy ra nguyên hàm của \( f(x) = -\frac{1}{\sqrt{x^2 + 2}} \), ta nhận thấy rằng: \[ F(x) = \ln(x - \sqrt{x^2 + 2}) \] là một nguyên hàm của \( f(x) \). Do đó, nguyên hàm của \( f(x) = -\frac{1}{\sqrt{x^2 + 2}} \) là: \[ \int -\frac{1}{\sqrt{x^2 + 2}} \, dx = \ln(x - \sqrt{x^2 + 2}) + C \] Kết luận: Nguyên hàm của \( f(x) = -\frac{1}{\sqrt{x^2 + 2}} \) là: \[ \boxed{\ln(x - \sqrt{x^2 + 2}) + C} \] Câu 17. Để tính $f'(x)$ và $\int g(x) dx$, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: Bước 1: Tính đạo hàm $f'(x)$ $f(x) = xe^x$ Áp dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số: \[ f'(x) = (xe^x)' = x(e^x)' + e^x(x)' = x \cdot e^x + e^x \cdot 1 = xe^x + e^x = e^x(x + 1) \] Bước 2: Tính nguyên hàm $\int g(x) dx$ $g(x) = 2xe^x$ Áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, ta đặt: \[ u = 2x \quad \text{và} \quad dv = e^x dx \] \[ du = 2 dx \quad \text{và} \quad v = e^x \] Theo công thức nguyên hàm từng phần: \[ \int u dv = uv - \int v du \] Ta có: \[ \int 2xe^x dx = 2x \cdot e^x - \int e^x \cdot 2 dx \] \[ = 2xe^x - 2 \int e^x dx \] \[ = 2xe^x - 2e^x + C \] \[ = 2e^x(x - 1) + C \] Vậy: \[ f'(x) = e^x(x + 1) \] \[ \int g(x) dx = 2e^x(x - 1) + C \] Đáp số: \[ f'(x) = e^x(x + 1) \] \[ \int g(x) dx = 2e^x(x - 1) + C \] Câu 18. a) Ta có: \[ \int^1_0(2x^3 + x) \, dx = \left[ \frac{2x^4}{4} + \frac{x^2}{2} \right]^1_0 = \left[ \frac{x^4}{2} + \frac{x^2}{2} \right]^1_0 = \left( \frac{1^4}{2} + \frac{1^2}{2} \right) - \left( \frac{0^4}{2} + \frac{0^2}{2} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \] b) Ta có: \[ \int^2_1 \frac{x^2 + 4x - 3}{x^2} \, dx = \int^2_1 \left( 1 + \frac{4}{x} - \frac{3}{x^2} \right) \, dx = \left[ x + 4 \ln |x| + \frac{3}{x} \right]^2_1 = \left( 2 + 4 \ln 2 + \frac{3}{2} \right) - \left( 1 + 4 \ln 1 + 3 \right) = 2 + 4 \ln 2 + \frac{3}{2} - 1 - 3 = 4 \ln 2 - \frac{1}{2} \] c) Ta có: \[ \int^1_0 4^{2x} \, dx = \int^1_0 (4^2)^x \, dx = \int^1_0 16^x \, dx = \left[ \frac{16^x}{\ln 16} \right]^1_0 = \frac{16^1}{\ln 16} - \frac{16^0}{\ln 16} = \frac{16}{\ln 16} - \frac{1}{\ln 16} = \frac{15}{\ln 16} \] d) Ta có: \[ \int^2_1 (e^{x-2} + 3^{x+1}) \, dx = \int^2_1 e^{x-2} \, dx + \int^2_1 3^{x+1} \, dx \] \[ = \left[ \frac{e^{x-2}}{\ln e} \right]^2_1 + \left[ \frac{3^{x+1}}{\ln 3} \right]^2_1 = \left[ e^{x-2} \right]^2_1 + \left[ \frac{3^{x+1}}{\ln 3} \right]^2_1 \] \[ = \left( e^{2-2} - e^{1-2} \right) + \left( \frac{3^{2+1}}{\ln 3} - \frac{3^{1+1}}{\ln 3} \right) = \left( e^0 - e^{-1} \right) + \left( \frac{27}{\ln 3} - \frac{9}{\ln 3} \right) \] \[ = \left( 1 - \frac{1}{e} \right) + \left( \frac{18}{\ln 3} \right) = 1 - \frac{1}{e} + \frac{18}{\ln 3} \] Đáp số: a) $\int^1_0(2x^3 + x) \, dx = 1$ b) $\int^2_1 \frac{x^2 + 4x - 3}{x^2} \, dx = 4 \ln 2 - \frac{1}{2}$ c) $\int^1_0 4^{2x} \, dx = \frac{15}{\ln 16}$ d) $\int^2_1 (e^{x-2} + 3^{x+1}) \, dx = 1 - \frac{1}{e} + \frac{18}{\ln 3}$ Câu 19. a) Ta có: \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx \] Biết rằng đạo hàm của $\tan x$ là $\sec^2 x$, ta có: \[ \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C \] Do đó: \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx = \left[ \tan x \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \] Tính giá trị tại các cận: \[ \tan \left(\frac{\pi}{4}\right) - \tan \left(\frac{\pi}{6}\right) = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \] Vậy: \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \] b) Ta có: \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} (2 + \cot x) \sin x \, dx \] Phân tích biểu thức: \[ (2 + \cot x) \sin x = 2 \sin x + \cot x \sin x = 2 \sin x + \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = 2 \sin x + \cos x \] Do đó: \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} (2 \sin x + \cos x) \, dx \] Tính tích phân từng phần: \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} 2 \sin x \, dx + \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos x \, dx \] Biết rằng: \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \quad \text{và} \quad \int \cos x \, dx = \sin x + C \] Ta có: \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} 2 \sin x \, dx = 2 \left[-\cos x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = 2 \left(-\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos 0 \right) = 2 \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \right) = 2 \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \] \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos x \, dx = \left[\sin x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin 0 = \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Cộng lại: \[ 2 \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2} \] Vậy: \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} (2 + \cot x) \sin x \, dx = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2} \] Đáp số: a) \(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\) b) \(2 - \frac{\sqrt{2}}{2}\) Câu 20. Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ $t=0$ đến $t=5$ là: $S=\int_{0}^{5}(2t+3)dt=(t^2+3t)\mid_{0}^{5}=40(m).$ Đáp số: 40 m. Câu 21. Để tìm tốc độ của chất điểm sau 12 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, ta sử dụng công thức vận động thẳng đều có gia tốc: \[ v = v_0 + at \] Trong đó: - \( v \) là tốc độ cuối cùng. - \( v_0 \) là tốc độ ban đầu. - \( a \) là gia tốc. - \( t \) là thời gian. Ta đã biết: - \( v_0 = 2 \, m/s \) - \( a = 4 \, m/s^2 \) - \( t = 12 \, s \) Thay các giá trị vào công thức: \[ v = 2 + 4 \times 12 \] \[ v = 2 + 48 \] \[ v = 50 \, m/s \] Vậy tốc độ của chất điểm sau 12 giây là 50 m/s. Câu 22. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm số dân số $P(t)$ Biết rằng tốc độ tăng dân số của thành phố được ước lượng bởi: \[ P'(t) = 15 \cdot (1,105)^t \] Ta cần tìm hàm số dân số $P(t)$. Ta có: \[ P(t) = \int P'(t) \, dt = \int 15 \cdot (1,105)^t \, dt \] Sử dụng công thức tích phân của hàm mũ: \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C \] Áp dụng vào bài toán: \[ P(t) = 15 \cdot \frac{(1,105)^t}{\ln(1,105)} + C \] Biết rằng vào đầu năm 2015 ($t = 0$), dân số của thành phố là 1007 nghìn người: \[ P(0) = 1007 \] \[ 1007 = 15 \cdot \frac{(1,105)^0}{\ln(1,105)} + C \] \[ 1007 = 15 \cdot \frac{1}{\ln(1,105)} + C \] \[ C = 1007 - \frac{15}{\ln(1,105)} \] Do đó: \[ P(t) = 15 \cdot \frac{(1,105)^t}{\ln(1,105)} + 1007 - \frac{15}{\ln(1,105)} \] Bước 2: Tính dân số của thành phố ở thời điểm đầu năm 2025 Thời điểm đầu năm 2025 tương ứng với $t = 10$: \[ P(10) = 15 \cdot \frac{(1,105)^{10}}{\ln(1,105)} + 1007 - \frac{15}{\ln(1,105)} \] Tính $(1,105)^{10}$: \[ (1,105)^{10} \approx 2,718 \] Tính $\ln(1,105)$: \[ \ln(1,105) \approx 0,100 \] Do đó: \[ P(10) = 15 \cdot \frac{2,718}{0,100} + 1007 - \frac{15}{0,100} \] \[ P(10) = 15 \cdot 27,18 + 1007 - 150 \] \[ P(10) = 407,7 + 1007 - 150 \] \[ P(10) = 1264,7 \] Làm tròn đến nghìn người: \[ P(10) \approx 1265 \text{ nghìn người} \] Bước 3: Tính tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm Tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm trong giai đoạn từ đầu năm 2015 đến đầu năm 2025: \[ \text{Tốc độ tăng trung bình} = \frac{P(10) - P(0)}{10} \] \[ \text{Tốc độ tăng trung bình} = \frac{1265 - 1007}{10} \] \[ \text{Tốc độ tăng trung bình} = \frac{258}{10} \] \[ \text{Tốc độ tăng trung bình} = 25,8 \text{ nghìn người/năm} \] Đáp số: a) Dân số của thành phố ở thời điểm đầu năm 2025 là 1265 nghìn người. b) Tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm của thành phố trong giai đoạn từ đầu năm 2015 đến đầu năm 2025 là 25,8 nghìn người/năm. Câu 23. a) Quãng đường vật di chuyển được sau thời gian t giây là: $s(t) = \int_{0}^{t} v(t) dt = \int_{0}^{t} 12t dt = [6t^2]_{0}^{t} = 6t^2$ b) Thời gian vật rơi xuống đất là: $6t^2 = 50 \Leftrightarrow t = \frac{5\sqrt{6}}{6}$ Tốc độ rơi trung bình của vật là: $\frac{50}{\frac{5\sqrt{6}}{6}} = 10\sqrt{6}$ Câu 24. Để tính tỉ số diện tích $\frac{S_1}{S_2}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích $S_1$: - Diện tích $S_1$ là diện tích của hình tròn có bán kính $r$. - Công thức diện tích hình tròn là $S = \pi r^2$. - Do đó, diện tích $S_1$ là: \[ S_1 = \pi r^2 \] 2. Tìm diện tích $S_2$: - Diện tích $S_2$ là diện tích của hình vuông có cạnh bằng $r$. - Công thức diện tích hình vuông là $S = a^2$, trong đó $a$ là độ dài cạnh. - Do đó, diện tích $S_2$ là: \[ S_2 = r^2 \] 3. Tính tỉ số diện tích $\frac{S_1}{S_2}$: - Tỉ số diện tích $\frac{S_1}{S_2}$ là: \[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi r^2}{r^2} = \pi \] Vậy tỉ số diện tích $\frac{S_1}{S_2}$ là $\pi$.