Giải bài tập sau

Câu 47. Để tính giá trị của $\int^\pi_{\frac\pi6}\cot^2xdx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của $\cot^2x$. Ta biết rằng $\cot^2x = \csc^2x - 1$. Do đó: \[ \int \cot^2x \, dx = \int (\csc^2x - 1) \, dx = -\cot x - x + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định. \[ \int^\pi_{\frac\pi6}\cot^2xdx = \left[-\cot x - x\right]^\pi_{\frac\pi6} \] Bước 3: Tính giá trị tại các cận trên và cận dưới. \[ \left[-\cot x - x\right]^\pi_{\frac\pi6} = \left(-\cot \pi - \pi\right) - \left(-\cot \frac\pi6 - \frac\pi6\right) \] \[ = \left(0 - \pi\right) - \left(-\sqrt{3} - \frac\pi6\right) \] \[ = -\pi + \sqrt{3} + \frac\pi6 \] \[ = \sqrt{3} - \pi + \frac\pi6 \] \[ = \sqrt{3} - \frac{6\pi}{6} + \frac\pi6 \] \[ = \sqrt{3} - \frac{5\pi}{6} \] Bước 4: Kết luận. \[ \int^\pi_{\frac\pi6}\cot^2xdx = \sqrt{3} - \frac{5\pi}{6} \] Do đó, đáp án đúng là: C. $\frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{6}$ Đáp án: C. $\frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{6}$ Câu 48. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính tích phân $\int^1_0\frac{2e^{2x}+3}{e^x}dx$ và so sánh kết quả với biểu thức $\frac{m.e^2+n.e+p}{e}$ để tìm giá trị của $m$, $n$, và $p$. Sau đó, chúng ta sẽ tính $m + 2n - p$. Bước 1: Tính tích phân $\int^1_0\frac{2e^{2x}+3}{e^x}dx$ Ta có: \[ \int^1_0\frac{2e^{2x}+3}{e^x}dx = \int^1_0 \left( \frac{2e^{2x}}{e^x} + \frac{3}{e^x} \right) dx = \int^1_0 \left( 2e^x + 3e^{-x} \right) dx \] Bước 2: Tính từng phần của tích phân \[ \int^1_0 2e^x dx = 2 \left[ e^x \right]^1_0 = 2(e^1 - e^0) = 2(e - 1) \] \[ \int^1_0 3e^{-x} dx = 3 \left[ -e^{-x} \right]^1_0 = 3(-e^{-1} + e^0) = 3(1 - \frac{1}{e}) \] Bước 3: Cộng lại kết quả của hai tích phân \[ \int^1_0 \left( 2e^x + 3e^{-x} \right) dx = 2(e - 1) + 3(1 - \frac{1}{e}) = 2e - 2 + 3 - \frac{3}{e} = 2e + 1 - \frac{3}{e} \] Bước 4: So sánh với biểu thức $\frac{m.e^2+n.e+p}{e}$ Ta có: \[ 2e + 1 - \frac{3}{e} = \frac{2e^2 + e - 3}{e} \] So sánh với $\frac{m.e^2+n.e+p}{e}$, ta nhận thấy: \[ m = 2, \quad n = 1, \quad p = -3 \] Bước 5: Tính $m + 2n - p$ \[ m + 2n - p = 2 + 2(1) - (-3) = 2 + 2 + 3 = 7 \] Vậy đáp án đúng là: D. 7. Câu 49. Để tính giá trị của $\int^2_{-2}f(x)dx$, ta chia tích phân thành hai phần dựa trên miền xác định của hàm số $f(x)$. Ta có: \[ \int^2_{-2} f(x) \, dx = \int^1_{-2} f(x) \, dx + \int^2_1 f(x) \, dx \] Trong đó: - Khi $x \leq 1$, ta có $f(x) = 3x^2 + 2$ - Khi $x > 1$, ta có $f(x) = 8x - 3$ Do đó: \[ \int^1_{-2} f(x) \, dx = \int^1_{-2} (3x^2 + 2) \, dx \] \[ \int^2_1 f(x) \, dx = \int^2_1 (8x - 3) \, dx \] Bây giờ, ta tính từng tích phân này riêng lẻ. 1. Tính $\int^1_{-2} (3x^2 + 2) \, dx$: \[ \int^1_{-2} (3x^2 + 2) \, dx = \left[ x^3 + 2x \right]^1_{-2} \] \[ = \left( 1^3 + 2 \cdot 1 \right) - \left( (-2)^3 + 2 \cdot (-2) \right) \] \[ = (1 + 2) - (-8 - 4) \] \[ = 3 - (-12) \] \[ = 3 + 12 \] \[ = 15 \] 2. Tính $\int^2_1 (8x - 3) \, dx$: \[ \int^2_1 (8x - 3) \, dx = \left[ 4x^2 - 3x \right]^2_1 \] \[ = \left( 4 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 \right) - \left( 4 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 \right) \] \[ = (16 - 6) - (4 - 3) \] \[ = 10 - 1 \] \[ = 9 \] Cuối cùng, cộng hai kết quả lại: \[ \int^2_{-2} f(x) \, dx = 15 + 9 = 24 \] Vậy giá trị của $\int^2_{-2} f(x) \, dx$ là 24. Đáp án đúng là: B. 24.