bài tập nguyên hàm

1. Tính các nguyên hàm sau: \[ I_1 = \int \left( \frac{4}{5}x^3 - 5x^2 - 2x - 3 \right) dx \] \[ I_1 = \frac{4}{5} \cdot \frac{x^4}{4} - 5 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C \] \[ I_1 = \frac{x^4}{5} - \frac{5x^3}{3} - x^2 - 3x + C \] \[ I_2 = \int \left( \frac{4}{3}x^4 - 4x^3 - 2x + 1 \right) dx \] \[ I_2 = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^5}{5} - 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C \] \[ I_2 = \frac{4x^5}{15} - x^4 - x^2 + x + C \] \[ I_3 = \int \left( \frac{2}{3}x^4 + 5x^2 - 3x - 4 \right) dx \] \[ I_3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^5}{5} + 5 \cdot \frac{x^3}{3} - 3 \cdot \frac{x^2}{2} - 4x + C \] \[ I_3 = \frac{2x^5}{15} + \frac{5x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} - 4x + C \] \[ I_4 = \int \left( -\frac{1}{3}x^2 + 4x - 1 \right) dx \] \[ I_4 = -\frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C \] \[ I_4 = -\frac{x^3}{9} + 2x^2 - x + C \] \[ I_5 = \int \left( x^{\frac{1}{4}} - x^{\frac{1}{4}} - 2 \right) dx \] \[ I_5 = \int (-2) dx \] \[ I_5 = -2x + C \] \[ I_6 = \int \left( \frac{3}{2}x^{\frac{3}{4}} + 4x^{\frac{1}{4}} - \frac{1}{3}x \right) dx \] \[ I_6 = \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{7}{4}}}{\frac{7}{4}} + 4 \cdot \frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^2}{2} + C \] \[ I_6 = \frac{6x^{\frac{7}{4}}}{7} + \frac{16x^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{x^2}{6} + C \] 2. Tính các nguyên hàm sau: \[ I_1 = \int (2 \sin 2x - 4 \cos 3x) dx \] \[ I_1 = 2 \cdot \left( -\frac{\cos 2x}{2} \right) - 4 \cdot \left( \frac{\sin 3x}{3} \right) + C \] \[ I_1 = -\cos 2x - \frac{4 \sin 3x}{3} + C \] \[ I_2 = \int (2 \cos 7x - \frac{1}{2} x^2) dx \] \[ I_2 = 2 \cdot \left( \frac{\sin 7x}{7} \right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + C \] \[ I_2 = \frac{2 \sin 7x}{7} - \frac{x^3}{6} + C \] \[ I_3 = \int (2 \sin \frac{x}{2} - 3 \cos 2x) dx \] \[ I_3 = 2 \cdot \left( -\frac{\cos \frac{x}{2}}{\frac{1}{2}} \right) - 3 \cdot \left( \frac{\sin 2x}{2} \right) + C \] \[ I_3 = -4 \cos \frac{x}{2} - \frac{3 \sin 2x}{2} + C \] \[ I_4 = \int \left( \frac{1}{2} \cos 3x - 4 \sin \frac{x}{3} \right) dx \] \[ I_4 = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\sin 3x}{3} \right) - 4 \cdot \left( -\frac{\cos \frac{x}{3}}{\frac{1}{3}} \right) + C \] \[ I_4 = \frac{\sin 3x}{6} + 12 \cos \frac{x}{3} + C \] \[ I_5 = \int \left( \frac{1}{2} \sin 2x + 2 \cos 4x \right) dx \] \[ I_5 = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{\cos 2x}{2} \right) + 2 \cdot \left( \frac{\sin 4x}{4} \right) + C \] \[ I_5 = -\frac{\cos 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{2} + C \] \[ I_6 = \int \left( 8 \cos 2x - \sin \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) \right) dx \] \[ I_6 = 8 \cdot \left( \frac{\sin 2x}{2} \right) - \left( -\frac{\cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right)}{2} \right) + C \] \[ I_6 = 4 \sin 2x + \frac{\cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right)}{2} + C \] 3. Tính các nguyên hàm sau: \[ I_1 = \int \left( 2x - \frac{2}{3x+1} \right) dx \] \[ I_1 = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 2 \cdot \frac{\ln |3x+1|}{3} + C \] \[ I_1 = x^2 - \frac{2 \ln |3x+1|}{3} + C \] \[ I_2 = \int \left( 4x^3 - \frac{3}{3-2x} \right) dx \] \[ I_2 = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 3 \cdot \left( -\frac{\ln |3-2x|}{2} \right) + C \] \[ I_2 = x^4 + \frac{3 \ln |3-2x|}{2} + C \] \[ I_3 = \int \left( \frac{1}{1-2x} + \frac{2}{4x+3} \right) dx \] \[ I_3 = -\frac{\ln |1-2x|}{2} + \frac{2 \ln |4x+3|}{4} + C \] \[ I_3 = -\frac{\ln |1-2x|}{2} + \frac{\ln |4x+3|}{2} + C \] \[ I_4 = \int \left( e^{-2x} - \frac{1}{5x+3} \right) dx \] \[ I_4 = -\frac{e^{-2x}}{2} - \frac{\ln |5x+3|}{5} + C \] \[ I_5 = \int \left( e^{6-x} - e^{4x} \right) dx \] \[ I_5 = -e^{6-x} - \frac{e^{4x}}{4} + C \] \[ I_6 = \int \left( \frac{3}{x^2} - \frac{1}{x+3} \right) dx \] \[ I_6 = 3 \cdot \left( -\frac{1}{x} \right) - \ln |x+3| + C \] \[ I_6 = -\frac{3}{x} - \ln |x+3| + C \] 4. Cho hàm số \( f(x) = 3x^2 - 4x + 2 \). Tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) \) biết \( F(2) = 3 \). \[ F(x) = \int (3x^2 - 4x + 2) dx \] \[ F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 2x + C \] \[ F(x) = x^3 - 2x^2 + 2x + C \] Biết \( F(2) = 3 \): \[ 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + C = 3 \] \[ 8 - 8 + 4 + C = 3 \] \[ 4 + C = 3 \] \[ C = -1 \] Vậy \( F(x) = x^3 - 2x^2 + 2x - 1 \). 5. Cho hàm số \( f(x) = 3 \sin 2x \). Tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) \) biết \( F\left( \frac{\pi}{6} \right) = 1 \). \[ F(x) = \int 3 \sin 2x dx \] \[ F(x) = 3 \cdot \left( -\frac{\cos 2x}{2} \right) + C \] \[ F(x) = -\frac{3 \cos 2x}{2} + C \] Biết \( F\left( \frac{\pi}{6} \right) = 1 \): \[ -\frac{3 \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{6} \right)}{2} + C = 1 \] \[ -\frac{3 \cos \left( \frac{\pi}{3} \right)}{2} + C = 1 \] \[ -\frac{3 \cdot \frac{1}{2}}{2} + C = 1 \] \[ -\frac{3}{4} + C = 1 \] \[ C = 1 + \frac{3}{4} \] \[ C = \frac{7}{4} \] Vậy \( F(x) = -\frac{3 \cos 2x}{2} + \frac{7}{4} \). 6. Cho hàm số \( f(x) = e^{2x} \). Tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) \) biết \( F(\ln 2) = 5 \). \[ F(x) = \int e^{2x} dx \] \[ F(x) = \frac{e^{2x}}{2} + C \] Biết \( F(\ln 2) = 5 \): \[ \frac{e^{2 \ln 2}}{2} + C = 5 \] \[ \frac{e^{\ln 4}}{2} + C = 5 \] \[ \frac{4}{2} + C = 5 \] \[ 2 + C = 5 \] \[ C = 3 \] Vậy \( F(x) = \frac{e^{2x}}{2} + 3 \). 7. Cho hàm số \( f(x) = \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) + 3 \). Tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) \) biết \( F(0) = 2\sqrt{2} \). \[ F(x) = \int \left( \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) + 3 \right) dx \] \[ F(x) = \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) + 3x + C \] Biết \( F(0) = 2\sqrt{2} \): \[ \sin \left( 0 + \frac{\pi}{4} \right) + 3 \cdot 0 + C = 2\sqrt{2} \] \[ \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) + C = 2\sqrt{2} \] \[ \frac{\sqrt{2}}{2} + C = 2\sqrt{2} \] \[ C = 2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ C = \frac{4\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ C = \frac{3\sqrt{2}}{2} \] Vậy \( F(x) = \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) + 3x + \frac{3\sqrt{2}}{2} \). 8. Cho hàm số \( f(x) = \sin \left( \frac{3}{2}x \right) \). Tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) \) biết \( F\left( \frac{\pi}{9} \right) = 3 \). \[ F(x) = \int \sin \left( \frac{3}{2}x \right) dx \] \[ F(x) = -\frac{2 \cos \left( \frac{3}{2}x \right)}{3} + C \] Biết \( F\left( \frac{\pi}{9} \right) = 3 \): \[ -\frac{2 \cos \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{9} \right)}{3} + C = 3 \] \[ -\frac{2 \cos \left( \frac{\pi}{6} \right)}{3} + C = 3 \] \[ -\frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3} + C = 3 \] \[ -\frac{\sqrt{3}}{3} + C = 3 \] \[ C = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3} \] \[ C = \frac{9}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \] \[ C = \frac{9 + \sqrt{3}}{3} \] Vậy \( F(x) = -\frac{2 \cos \left( \frac{3}{2}x \right)}{3} + \frac{9 + \sqrt{3}}{3} \). 10. Tính các nguyên hàm sau: \[ I_1 = \int \sin^2 x dx \] \[ I_1 = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx \] \[ I_1 = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) dx \] \[ I_1 = \frac{1}{2} \left( x - \frac{\sin 2x}{2} \right) + C \] \[ I_1 = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C \] \[ I_2 = \int \cos^2 x dx \] \[ I_2 = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx \] \[ I_2 = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 2x) dx \] \[ I_2 = \frac{1}{2} \left( x + \frac{\sin 2x}{2} \right) + C \] \[ I_2 = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C \] \[ I_3 = \int \tan^2 x dx \] \[ I_3 = \int (\sec^2 x - 1) dx \] \[ I_3 = \tan x - x + C \] \[ I_4 = \int \cot^2 x dx \] \[ I_4 = \int (\csc^2 x - 1) dx \] \[ I_4 = -\cot x - x + C \] 11. Tính các nguyên hàm sau: \[ I_1 = \int \frac{x^2 - 3x + 4}{x-1} dx \] \[ I_1 = \int \left( x - 2 + \frac{2}{x-1} \right) dx \] \[ I_1 = \frac{x^2}{2} - 2x + 2 \ln |x-1| + C \] \[ I_2 = \int \frac{2x^2 - 4x + 1}{x+2} dx \] \[ I_2 = \int \left( 2x - 8 + \frac{17}{x+2} \right) dx \] \[ I_2 = x^2 - 8x + 17 \ln |x+2| + C \] \[ I_3 = \int \frac{x^3 - 2x^2 + 3}{x+1} dx \] Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.