thuyyyynfifnfidnfkdknffjdjndnfjfjffjjfjfjfjfjf

4.2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) $f(x) = 3x^2 + 2x - 1$ \[ F(x) = \int (3x^2 + 2x - 1) \, dx = x^3 + x^2 - x + C \] b) $f(x) = x^3 - x$ \[ F(x) = \int (x^3 - x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + C \] c) $f(x) = (2x + 1)^2$ \[ f(x) = 4x^2 + 4x + 1 \] \[ F(x) = \int (4x^2 + 4x + 1) \, dx = \frac{4x^3}{3} + 2x^2 + x + C \] d) $f(x) = (2x - \frac{1}{x})^2$ \[ f(x) = 4x^2 - 4 + \frac{1}{x^2} \] \[ F(x) = \int (4x^2 - 4 + \frac{1}{x^2}) \, dx = \frac{4x^3}{3} - 4x - \frac{1}{x} + C \] 4.3. Tìm: a) $\int (3\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}) \, dx$ \[ \int (3x^{1/2} + x^{-1/3}) \, dx = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + \frac{3}{2} x^{2/3} + C = 2x^{3/2} + \frac{3}{2} x^{2/3} + C \] b) $\int \sqrt{x}(7x^2 - 3) \, dx$ ($x > 0$) \[ \int (7x^{5/2} - 3x^{1/2}) \, dx = 7 \cdot \frac{2}{7} x^{7/2} - 3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + C = 2x^{7/2} - 2x^{3/2} + C \] c) $\int \frac{(2x + 1)^2}{x^2} \, dx$ \[ \int \left( \frac{4x^2 + 4x + 1}{x^2} \right) \, dx = \int \left( 4 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2} \right) \, dx = 4x + 4 \ln |x| - \frac{1}{x} + C \] d) $\int (2^x + \frac{3}{x^2}) \, dx$ \[ \int 2^x \, dx + \int \frac{3}{x^2} \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} - \frac{3}{x} + C \] 4.4. Tìm: a) $\int (2 \cos x - \frac{3}{\sin^2 x}) \, dx$ \[ \int 2 \cos x \, dx - \int 3 \csc^2 x \, dx = 2 \sin x + 3 \cot x + C \] b) $\int 4 \sin^2 \frac{x}{2} \, dx$ \[ \int 4 \left( \frac{1 - \cos x}{2} \right) \, dx = 2 \int (1 - \cos x) \, dx = 2x - 2 \sin x + C \] c) $\int (\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})^2 \, dx$ \[ \int (\sin^2 \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}) \, dx = \int (1 - \sin x) \, dx = x + \cos x + C \] d) $\int (x + \tan^2 x) \, dx$ \[ \int x \, dx + \int \tan^2 x \, dx = \frac{x^2}{2} + \int (\sec^2 x - 1) \, dx = \frac{x^2}{2} + \tan x - x + C \] 4.5. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(0; +\infty)$. Biết rằng, $f'(x) = 2x + \frac{1}{x^2}$ với mọi $x \in (0; +\infty)$ và $f(1) = 1$. Tính giá trị $f(4)$. \[ f(x) = \int (2x + \frac{1}{x^2}) \, dx = x^2 - \frac{1}{x} + C \] Sử dụng điều kiện $f(1) = 1$: \[ 1 = 1^2 - \frac{1}{1} + C \Rightarrow C = 1 \] Do đó: \[ f(x) = x^2 - \frac{1}{x} + 1 \] Tính $f(4)$: \[ f(4) = 4^2 - \frac{1}{4} + 1 = 16 - 0.25 + 1 = 16.75 \] 4.6. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị là (C). Xét điểm $M(x; f(x))$ thay đổi trên (C). Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là $k_M = (x - 1)^2$ và điểm M trùng với gốc toạ độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức $f(x)$. \[ f'(x) = (x - 1)^2 \] \[ f(x) = \int (x - 1)^2 \, dx = \int (x^2 - 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C \] Khi $x = 0$, $f(0) = 0$: \[ 0 = \frac{0^3}{3} - 0^2 + 0 + C \Rightarrow C = 0 \] Do đó: \[ f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + x \] 4.7. Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi $t = 0$ là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi $v(t) = 160 - 9.8t \, (m/s)$. Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất): a) Sau $t = 5$ giây; b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét). a) Độ cao sau $t = 5$ giây: \[ s(t) = \int v(t) \, dt = \int (160 - 9.8t) \, dt = 160t - 4.9t^2 + C \] Khi $t = 0$, $s(0) = 0$: \[ 0 = 160 \cdot 0 - 4.9 \cdot 0^2 + C \Rightarrow C = 0 \] Do đó: \[ s(t) = 160t - 4.9t^2 \] Tính $s(5)$: \[ s(5) = 160 \cdot 5 - 4.9 \cdot 5^2 = 800 - 122.5 = 677.5 \, m \] b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất: \[ v(t) = 0 \Rightarrow 160 - 9.8t = 0 \Rightarrow t = \frac{160}{9.8} \approx 16.33 \, s \] Tính $s(16.33)$: \[ s(16.33) = 160 \cdot 16.33 - 4.9 \cdot (16.33)^2 \approx 2600.8 - 1300.4 = 1300.4 \, m \] Đáp số: a) Sau $t = 5$ giây: 677.5 m b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất: 1300.4 m