Trả lời câu hỏi

Câu 6. Sau mỗi phút, người ta bơm vào bể 20 lít nước muối có nồng độ 25 gam muối/lít. Do đó, mỗi phút có thêm \(20 \times 25 = 500\) gam muối vào bể. Sau \(t\) phút, tổng thể tích nước trong bể là: \[ 6000 + 20t \text{ (lít)} \] Khối lượng muối trong bể sau \(t\) phút là: \[ 500t \text{ (gam)} \] Tỉ số giữa khối lượng muối và thể tích nước trong bể (nồng độ muối) là: \[ f(t) = \frac{500t}{6000 + 20t} \] Để tìm nồng độ muối tối đa, ta tính đạo hàm của \(f(t)\): \[ f'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{500t}{6000 + 20t}\right) \] Áp dụng quy tắc thương: \[ f'(t) = \frac{(500)(6000 + 20t) - (500t)(20)}{(6000 + 20t)^2} \] \[ f'(t) = \frac{3000000 + 10000t - 10000t}{(6000 + 20t)^2} \] \[ f'(t) = \frac{3000000}{(6000 + 20t)^2} \] Đạo hàm \(f'(t)\) luôn dương vì \(3000000 > 0\) và \((6000 + 20t)^2 > 0\). Điều này cho thấy hàm \(f(t)\) là hàm tăng trên khoảng \([0, +\infty)\). Do đó, nồng độ muối tối đa sẽ tiếp cận giới hạn khi \(t\) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{500t}{6000 + 20t} \] Chia cả tử và mẫu cho \(t\): \[ \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{500}{\frac{6000}{t} + 20} = \frac{500}{20} = 25 \text{ (gam/lít)} \] Vậy hàm số \(f(t)\) là: \[ f(t) = \frac{500t}{6000 + 20t} \] Nồng độ muối tối đa trong bể là 25 gam/lít.