Trả lời câu hỏi ,Câu 6. Một bể chứa 6000 lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng độ 25 gam muối cho,mỗi lít nước với tốc độ 20 lít/phút. Giả sử sau t phút, tỉ số giữa khối lượng muối trong bể và thể tích nước,trong bể (đơn vị gam/lít) là một hàm $f(t).$ Hãy xác định hàm số $f(t),t\widehat I[0;+\widehat Y)$ và xác định nồng độ muối,tối đa có trong bể.,4

Question

Trả lời câu hỏi <img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/f97cbe9d67fa4f289d558f41a81bf0a8.jpg />,Câu 6. Một bể chứa 6000 lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng độ 25 gam muối cho,mỗi lít nước với tốc độ 20 lít/phút. Giả sử sau t phút, tỉ số giữa khối lượng muối trong bể và thể tích nước,trong bể (đơn vị gam/lít) là một hàm $f(t).$ Hãy xác định hàm số $f(t),t\widehat I[0;+\widehat Y)$ và xác định nồng độ muối,tối đa có trong bể.,4

Accepted Answer

Câu 6.
Sau mỗi phút, người ta bơm vào bể 20 lít nước muối có nồng độ 25 gam muối/lít. Do đó, mỗi phút có thêm $20 \times 25 = 500$ gam muối vào bể.

Sau $t$ phút, tổng thể tích nước trong bể là:
$$ 6000 + 20t \text{ (lít)} $$

Khối lượng muối trong bể sau $t$ phút là:
$$ 500t \text{ (gam)} $$

Tỉ số giữa khối lượng muối và thể tích nước trong bể (nồng độ muối) là:
$$ f(t) = \frac{500t}{6000 + 20t} $$

Để tìm nồng độ muối tối đa, ta tính đạo hàm của $f(t)$:
$$ f'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{500t}{6000 + 20t}\right) $$

Áp dụng quy tắc thương:
$$ f'(t) = \frac{(500)(6000 + 20t) - (500t)(20)}{(6000 + 20t)^2} $$
$$ f'(t) = \frac{3000000 + 10000t - 10000t}{(6000 + 20t)^2} $$
$$ f'(t) = \frac{3000000}{(6000 + 20t)^2} $$

Đạo hàm $f'(t)$ luôn dương vì $3000000 > 0$ và $(6000 + 20t)^2 > 0$. Điều này cho thấy hàm $f(t)$ là hàm tăng trên khoảng $[0, +\infty)$.

Do đó, nồng độ muối tối đa sẽ tiếp cận giới hạn khi $t$ tiến đến vô cùng:
$$ \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{500t}{6000 + 20t} $$

Chia cả tử và mẫu cho $t$:
$$ \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{500}{\frac{6000}{t} + 20} = \frac{500}{20} = 25 \text{ (gam/lít)} $$

Vậy hàm số $f(t)$ là:
$$ f(t) = \frac{500t}{6000 + 20t} $$

Nồng độ muối tối đa trong bể là 25 gam/lít.