Hdnd dbjd x c c c c $d)~f(0)=1.$,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.,Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm $A(2;4;1),~B(-1;1;3)$ và mặt phẳng $(P):~x-3y+2z-5=0$,. Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A ,B và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là,$ax+by+cz-11=0.$ Tính $b+c$,Câu 2. Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm t (giây) là,$v(t)=t^2-t-6$ (mét/giây). Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $1\leq t\leq4$ bằng bao nhiêu mét?,(làm tròn tới hàng phần mười),Câu 3. Có 40 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 40. Một người rút ngẫu nhiên lần lượt hai tấm thẻ (rút không,hoàn lại). Tính xác suất để lần thứ hai rút được thẻ mang số nguyên tố.,Mã đề 102 Trang 2/3

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Để tìm phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A và B và vuông góc với mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):
   Mặt phẳng (P) có phương trình $x - 3y + 2z - 5 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n}_P = (1, -3, 2)$.

2. Tìm vectơ AB:
   Điểm A(2, 4, 1) và điểm B(-1, 1, 3). 
   $$
   \vec{AB} = (-1 - 2, 1 - 4, 3 - 1) = (-3, -3, 2)
   $$

3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q):
   Mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P), do đó vectơ pháp tuyến của (Q) phải vuông góc với $\vec{n}_P$. Mặt khác, mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A và B, nên vectơ pháp tuyến của (Q) cũng phải vuông góc với $\vec{AB}$.

Ta tìm vectơ pháp tuyến của (Q) bằng cách lấy tích vô hướng của $\vec{n}_P$ và $\vec{AB}$:
   $$
   \vec{n}_Q = \vec{n}_P \times \vec{AB}
   $$
   Tính tích vô hướng:
   $$
   \vec{n}_Q = \begin{vmatrix}
   \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
   1 & -3 & 2 \
   -3 & -3 & 2
   \end{vmatrix} = \vec{i}((-3)(2) - (2)(-3)) - \vec{j}((1)(2) - (2)(-3)) + \vec{k}((1)(-3) - (-3)(-3))
   $$
   $$
   = \vec{i}( -6 + 6 ) - \vec{j}( 2 + 6 ) + \vec{k}( -3 - 9 )
   $$
   $$
   = \vec{i}(0) - \vec{j}(8) + \vec{k}(-12)
   $$
   $$
   = (0, -8, -12)
   $$
   Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $\vec{n}_Q = (0, -8, -12)$.

4. Viết phương trình mặt phẳng (Q):
   Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(2, 4, 1) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_Q = (0, -8, -12)$. Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng:
   $$
   0(x - 2) - 8(y - 4) - 12(z - 1) = 0
   $$
   $$
   -8(y - 4) - 12(z - 1) = 0
   $$
   $$
   -8y + 32 - 12z + 12 = 0
   $$
   $$
   -8y - 12z + 44 = 0
   $$
   Chia cả phương trình cho -4 để đơn giản hóa:
   $$
   2y + 3z - 11 = 0
   $$
   So sánh với phương trình đã cho $ax + by + cz - 11 = 0$, ta thấy $a = 0$, $b = 2$, $c = 3$.

5. Tính $b + c$:
   $$
   b + c = 2 + 3 = 5
   $$

Vậy, $b + c = 5$.

Câu 2.
Để tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ $ t = 1 $ đến $ t = 4 $, ta cần tính tích phân của vận tốc $ v(t) $ từ $ t = 1 $ đến $ t = 4 $.

Bước 1: Xác định vận tốc $ v(t) $:
$$ v(t) = t^2 - t - 6 $$
Bước 2: Tính tích phân của $ v(t) $ từ $ t = 1 $ đến $ t = 4 $:
$$ S = \int_{1}^{4} v(t) \, dt = \int_{1}^{4} (t^2 - t - 6) \, dt $$
Bước 3: Tính tích phân từng phần:
$$ \int (t^2 - t - 6) \, dt = \int t^2 \, dt - \int t \, dt - \int 6 \, dt $$
$$ = \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} - 6t + C $$
Bước 4: Áp dụng cận trên và cận dưới vào tích phân:
$$ S = \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} - 6t \right]_{1}^{4} $$
$$ = \left( \frac{4^3}{3} - \frac{4^2}{2} - 6 \cdot 4 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} - 6 \cdot 1 \right) $$
$$ = \left( \frac{64}{3} - \frac{16}{2} - 24 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6 \right) $$
$$ = \left( \frac{64}{3} - 8 - 24 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6 \right) $$
$$ = \left( \frac{64}{3} - 32 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6 \right) $$
$$ = \left( \frac{64}{3} - \frac{96}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6 \right) $$
$$ = \left( \frac{-32}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6 \right) $$

Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.

Câu 3.
Để tính xác suất lần thứ hai rút được thẻ mang số nguyên tố, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

1. Xác định tổng số thẻ và số thẻ mang số nguyên tố:
   - Tổng số thẻ là 40.
   - Các số nguyên tố từ 1 đến 40 là: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.
   - Số lượng thẻ mang số nguyên tố là 12.

2. Tính xác suất lần thứ hai rút được thẻ mang số nguyên tố:
   - Khi lần đầu tiên rút bất kỳ thẻ nào, số thẻ còn lại là 39.
   - Số thẻ mang số nguyên tố còn lại có thể là 12 hoặc 11, tùy thuộc vào lần đầu rút được thẻ mang số nguyên tố hay không.

3. Xét hai trường hợp:
   - Trường hợp 1: Lần đầu rút được thẻ mang số nguyên tố.
     - Số thẻ mang số nguyên tố còn lại là 11.
     - Xác suất lần thứ hai rút được thẻ mang số nguyên tố là $\frac{11}{39}$.
   - Trường hợp 2: Lần đầu không rút được thẻ mang số nguyên tố.
     - Số thẻ mang số nguyên tố còn lại là 12.
     - Xác suất lần thứ hai rút được thẻ mang số nguyên tố là $\frac{12}{39}$.

4. Tính xác suất tổng cộng:
   - Xác suất lần đầu rút được thẻ mang số nguyên tố là $\frac{12}{40}$.
   - Xác suất lần đầu không rút được thẻ mang số nguyên tố là $\frac{28}{40}$.
   - Xác suất tổng cộng lần thứ hai rút được thẻ mang số nguyên tố là:
     $$
     \left(\frac{12}{40} \times \frac{11}{39}\right) + \left(\frac{28}{40} \times \frac{12}{39}\right)
     $$
     $$
     = \frac{12 \times 11}{40 \times 39} + \frac{28 \times 12}{40 \times 39}
     $$
     $$
     = \frac{132}{1560} + \frac{336}{1560}
     $$
     $$
     = \frac{468}{1560}
     $$
     $$
     = \frac{39}{130}
     $$

Vậy xác suất lần thứ hai rút được thẻ mang số nguyên tố là $\frac{39}{130}$.