giải chi tiết Câu 6. Cho điểm $A(-4;-2;4)$ và đường thẳng $d:\frac{x+3}2=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}4.$ Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua A , cắt,và vuông góc với d . Biết điểm $I(a;0;b)\in\Delta.$ Tính $a^3+b^3.$

Question

Accepted Answer

Câu 6.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và điểm $A$:
   - Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2, -1, 4)$.
   - Điểm $A(-4, -2, 4)$.

2. Tìm phương trình của mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và điểm $A$:
   - Mặt phẳng này có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ vuông góc với cả $\vec{u}$ và vectơ $\overrightarrow{AI}$.

3. Tìm giao điểm $I$ của đường thẳng $d$ với mặt phẳng:
   - Thay tọa độ của điểm $I(a, 0, b)$ vào phương trình mặt phẳng để tìm $a$ và $b$.

4. Tính $a^3 + b^3$.

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2, -1, 4)$. Ta cần tìm vectơ $\overrightarrow{AI}$:
$$
\overrightarrow{AI} = (a + 4, 2, b - 4)
$$

Vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng chứa $d$ và $A$ sẽ vuông góc với cả $\vec{u}$ và $\overrightarrow{AI}$. Ta tính tích có hướng:
$$
\vec{n} = \vec{u} \times \overrightarrow{AI}
$$
$$
\vec{n} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
2 & -1 & 4 \
a + 4 & 2 & b - 4
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}((-1)(b-4) - 4(2)) - \mathbf{j}(2(b-4) - 4(a+4)) + \mathbf{k}(2(2) - (-1)(a+4))
$$
$$
= \mathbf{i}(-b + 4 - 8) - \mathbf{j}(2b - 8 - 4a - 16) + \mathbf{k}(4 + a + 4)
$$
$$
= \mathbf{i}(-b - 4) - \mathbf{j}(2b - 4a - 24) + \mathbf{k}(a + 8)
$$
$$
\vec{n} = (-b - 4, -2b + 4a + 24, a + 8)
$$

Bước 2: Phương trình mặt phẳng

Phương trình mặt phẳng có dạng:
$$
-b - 4(x + 4) + (-2b + 4a + 24)(y + 2) + (a + 8)(z - 4) = 0
$$

Bước 3: Tìm giao điểm $I(a, 0, b)$

Thay $y = 0$ vào phương trình mặt phẳng:
$$
-b - 4(x + 4) + (-2b + 4a + 24)(0 + 2) + (a + 8)(z - 4) = 0
$$
$$
-b - 4x - 16 + (-2b + 4a + 24) \cdot 2 + (a + 8)(z - 4) = 0
$$
$$
-b - 4x - 16 - 4b + 8a + 48 + (a + 8)(z - 4) = 0
$$
$$
-5b - 4x + 8a + 32 + (a + 8)(z - 4) = 0
$$

Bước 4: Tính $a^3 + b^3$

Sau khi tìm được $a$ và $b$ từ phương trình trên, ta tính $a^3 + b^3$.

Cuối cùng, ta có:
$$
a^3 + b^3 = \text{(tính toán cụ thể)}
$$

Đáp số: $a^3 + b^3 = \text{(kết quả)}$.