djbebttndjsjdn

Câu 37. Trước tiên, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào là sai. A. $\int[f(x) - g(x)]dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx.$ Theo tính chất của tích phân, mệnh đề này đúng vì tích phân của hiệu hai hàm số bằng hiệu của tích phân của hai hàm số đó. B. $\int f(x).g(x)dx = \int f(x)dx . \int g(x)dx.$ Mệnh đề này sai vì tích phân của tích hai hàm số không bằng tích của tích phân của hai hàm số đó. Tính chất này không tồn tại trong lý thuyết tích phân. C. $\int 2f(x)dx = 2\int f(x)dx.$ Theo tính chất của tích phân, mệnh đề này đúng vì tích phân của một hằng số nhân với một hàm số bằng hằng số đó nhân với tích phân của hàm số đó. D. $\int[f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx.$ Theo tính chất của tích phân, mệnh đề này đúng vì tích phân của tổng hai hàm số bằng tổng của tích phân của hai hàm số đó. Như vậy, mệnh đề sai là: B. $\int f(x).g(x)dx = \int f(x)dx . \int g(x)dx.$ Đáp án: B. Câu 38. Để tìm giá trị của \( m \) sao cho hàm số \( F(x) = m^3 x^3 + (3m + 2) x^2 - 4x + 3 \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + 10x - 4 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của \( F(x) \). \[ F'(x) = \frac{d}{dx} \left( m^3 x^3 + (3m + 2) x^2 - 4x + 3 \right) \] Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và lũy thừa: \[ F'(x) = 3m^3 x^2 + 2(3m + 2) x - 4 \] \[ F'(x) = 3m^3 x^2 + (6m + 4) x - 4 \] Bước 2: So sánh \( F'(x) \) với \( f(x) \). Theo đề bài, \( F(x) \) là nguyên hàm của \( f(x) \), do đó: \[ F'(x) = f(x) \] \[ 3m^3 x^2 + (6m + 4) x - 4 = 3x^2 + 10x - 4 \] Bước 3: So sánh hệ số tương ứng của hai vế. So sánh hệ số của \( x^2 \): \[ 3m^3 = 3 \] \[ m^3 = 1 \] \[ m = 1 \] So sánh hệ số của \( x \): \[ 6m + 4 = 10 \] \[ 6m = 6 \] \[ m = 1 \] Như vậy, cả hai điều kiện đều cho ta \( m = 1 \). Kết luận: Giá trị của \( m \) là \( m = 1 \). Đáp án đúng là: C. \( m = 1 \). Câu 39. Để xác định hàm số \( F(x) \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) trên khoảng \( K \), ta cần kiểm tra điều kiện nào trong các lựa chọn A, B, C, D là đúng. Theo định nghĩa của nguyên hàm, nếu \( F(x) \) là một nguyên hàm của \( f(x) \) trên khoảng \( K \), thì đạo hàm của \( F(x) \) phải bằng \( f(x) \) tại mọi điểm thuộc khoảng \( K \). Điều này có thể viết dưới dạng: \[ F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K. \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K. \) Lập luận từng bước: 1. Xác định định nghĩa của nguyên hàm: Nếu \( F(x) \) là nguyên hàm của \( f(x) \), thì \( F'(x) = f(x) \). 2. Kiểm tra các lựa chọn: - A. \( f'(x) = F(x) \): Sai vì đạo hàm của \( f(x) \) không phải là \( F(x) \). - B. \( F'(x) = f(x) \): Đúng theo định nghĩa nguyên hàm. - C. \( f'(x) = -F(x) \): Sai vì đạo hàm của \( f(x) \) không phải là \( -F(x) \). - D. \( F'(x) = -f(x) \): Sai vì đạo hàm của \( F(x) \) không phải là \( -f(x) \). Vậy đáp án đúng là B. Câu 40. Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 + \frac{3}{x} \) trên khoảng \((-∞, 0)\) và \((0, +∞)\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm từng phần của hàm số \( f(x) \). Nguyên hàm của \( x^2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 \] Nguyên hàm của \( \frac{3}{x} \): \[ \int \frac{3}{x} \, dx = 3 \ln |x| + C_2 \] Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại: \[ \int \left( x^2 + \frac{3}{x} \right) \, dx = \frac{x^3}{3} + 3 \ln |x| + C \] Trong đó, \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tổng hợp từ hai hằng số nguyên hàm riêng lẻ. Do đó, tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 + \frac{3}{x} \) trên khoảng \((-∞, 0)\) và \((0, +∞)\) là: \[ \frac{x^3}{3} + 3 \ln |x| + C \] Vậy đáp án đúng là: C. \( \frac{x^3}{3} + 3 \ln |x| + C \) Câu 41. Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 4x + \sin x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ trong hàm số. - Nguyên hàm của \( 4x \): \[ \int 4x \, dx = 4 \int x \, dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2 \] - Nguyên hàm của \( \sin x \): \[ \int \sin x \, dx = -\cos x \] Bước 2: Cộng các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \). \[ \int (4x + \sin x) \, dx = 2x^2 - \cos x + C \] Vậy tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 4x + \sin x \) là: \[ 2x^2 - \cos x + C \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( 2x^2 - \cos x + C \). Câu 42. Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sin(2x + 1) \), chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác. Bước 1: Xác định dạng của hàm số. Hàm số \( f(x) = \sin(2x + 1) \) là hàm lượng giác có dạng \( \sin(ax + b) \). Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm lượng giác. Theo công thức nguyên hàm của hàm lượng giác, ta có: \[ \int \sin(ax + b) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax + b) + C \] Trong trường hợp này, \( a = 2 \) và \( b = 1 \). Do đó, ta thay vào công thức trên: \[ \int \sin(2x + 1) \, dx = -\frac{1}{2} \cos(2x + 1) + C \] Bước 3: Kết luận. Tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sin(2x + 1) \) là: \[ F(x) = -\frac{1}{2} \cos(2x + 1) + C \] Vậy đáp án đúng là: C. \( F(x) = -\frac{1}{2} \cos(2x + 1) + C \) Đáp án: C. \( F(x) = -\frac{1}{2} \cos(2x + 1) + C \) Câu 43. Để tìm nguyên hàm của \( F(x) = \int \pi^2 \, dx \), chúng ta sẽ áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản. Bước 1: Xác định rằng \(\pi^2\) là hằng số. \[ \pi^2 \text{ là hằng số, do đó } \int \pi^2 \, dx = \pi^2 \int 1 \, dx. \] Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm của hằng số. \[ \int 1 \, dx = x + C, \] trong đó \(C\) là hằng số nguyên hàm. Bước 3: Kết hợp các kết quả lại. \[ \int \pi^2 \, dx = \pi^2 (x + C) = \pi^2 x + C. \] Do đó, nguyên hàm của \( F(x) = \int \pi^2 \, dx \) là: \[ F(x) = \pi^2 x + C. \] Vậy đáp án đúng là: A. \( F(x) = \pi^2 x + C \). Câu 44. Để tìm nguyên hàm của \( f(x) = 4^x \cdot 3^x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tích của hai lũy thừa cùng cơ số: \[ 4^x \cdot 3^x = (4 \cdot 3)^x = 12^x \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của \( 12^x \): \[ F(x) = \int 12^x \, dx \] Bước 3: Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ \( a^x \): \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] Trong đó \( a = 12 \), ta có: \[ F(x) = \frac{12^x}{\ln 12} + C \] Do đó, nguyên hàm của \( f(x) = 4^x \cdot 3^x \) là: \[ F(x) = \frac{12^x}{\ln 12} + C \] Vậy đáp án đúng là: B. \( F(x) = \frac{12^x}{\ln 12} \) Đáp án: B. \( F(x) = \frac{12^x}{\ln 12} \) Câu 45. Ta xét từng khẳng định: A. $\int f'(x)dx = f(x) + C$. Theo định nghĩa của nguyên hàm, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $F'(x) = f(x)$. Do đó, nếu $f'(x)$ là đạo hàm của $f(x)$, thì $\int f'(x)dx = f(x) + C$. Khẳng định này đúng. B. Cho hàm số $f(x)$ xác định trên K và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên K. Khi đó $F'(x) = f(x),~\forall x \in K$. Theo định nghĩa của nguyên hàm, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên K, thì $F'(x) = f(x)$ cho mọi $x \in K$. Khẳng định này đúng. Như vậy, cả hai khẳng định đều đúng. Do đó, không có khẳng định nào sai trong hai khẳng định đã cho. Đáp án: Không có khẳng định nào sai.