vhahgshjsbshdjjsvhsujs

Câu 9: Để tính tích phân \( I = \int^2_{-1} [x + 2f(x) - 3g(x)] \, dx \), ta sẽ sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân. Bước 1: Tách tích phân thành các phần riêng lẻ: \[ I = \int^2_{-1} x \, dx + 2 \int^2_{-1} f(x) \, dx - 3 \int^2_{-1} g(x) \, dx \] Bước 2: Tính từng phần tích phân riêng lẻ. Phần 1: Tính \(\int^2_{-1} x \, dx\): \[ \int^2_{-1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]^2_{-1} = \frac{2^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] Phần 2: Tính \(2 \int^2_{-1} f(x) \, dx\): \[ 2 \int^2_{-1} f(x) \, dx = 2 \times 2 = 4 \] Phần 3: Tính \(-3 \int^2_{-1} g(x) \, dx\): \[ -3 \int^2_{-1} g(x) \, dx = -3 \times (-1) = 3 \] Bước 3: Cộng tất cả các kết quả lại: \[ I = \frac{3}{2} + 4 + 3 = \frac{3}{2} + \frac{8}{2} + \frac{6}{2} = \frac{17}{2} \] Vậy đáp án đúng là: A. $\frac{17}{2}$ Đáp số: $\boxed{\frac{17}{2}}$ Câu 10: Ta có: \[ \int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ 10 = 2 + \int_{3}^{5} f(x) \, dx \] Giải ra ta được: \[ \int_{3}^{5} f(x) \, dx = 10 - 2 = 8 \] Vậy đáp án đúng là B. 8. Câu 11: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng gia tốc \(a(t)\) là đạo hàm của vận tốc \(v(t)\) theo thời gian \(t\). Do đó, ta có: \[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} \] Theo định lý cơ bản của Calculus, tích phân của đạo hàm của một hàm số từ \(c\) đến \(b\) sẽ cho ta sự thay đổi của hàm số đó từ \(c\) đến \(b\): \[ \int_c^b a(t) \, dt = \int_c^b \frac{dv(t)}{dt} \, dt = v(b) - v(c) \] Do đó, đáp án đúng là: C. $\int^b_ca(t)dt=v(b)-v(c).$ Lập luận từng bước: 1. Gia tốc \(a(t)\) là đạo hàm của vận tốc \(v(t)\) theo thời gian \(t\). 2. Theo định lý cơ bản của Calculus, tích phân của đạo hàm của một hàm số từ \(c\) đến \(b\) sẽ cho ta sự thay đổi của hàm số đó từ \(c\) đến \(b\). 3. Vì vậy, tích phân của gia tốc từ \(c\) đến \(b\) sẽ là sự thay đổi của vận tốc từ \(c\) đến \(b\). Đáp án: C. $\int^b_ca(t)dt=v(b)-v(c).$ Câu 12: Để tìm diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{1}{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1$ và $x = k$ (với $k > 1$), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định diện tích S bằng cách tính tích phân của hàm số từ $x = 1$ đến $x = k$: \[ S = \int_{1}^{k} \frac{1}{x} \, dx \] Bước 2: Tính tích phân: \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C \] Do đó, \[ S = \left[ \ln |x| \right]_{1}^{k} = \ln k - \ln 1 = \ln k \] Bước 3: So sánh kết quả với diện tích đã cho: Theo đề bài, diện tích S là $\ln 2$. Do đó, ta có: \[ \ln k = \ln 2 \] Bước 4: Giải phương trình để tìm giá trị của $k$: \[ k = 2 \] Vậy đáp án đúng là: A. $k = 2$ Đáp số: $k = 2$ Câu 13: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự. a) Khi $F(1)=\frac32$ thì $F(-1)=-\frac17$ Đầu tiên, ta cần hiểu rằng $F(x)$ là một hàm tích phân không xác định của $f(x)$. Do đó, $F(x)$ có dạng $F(x) = \int f(x) dx + C$, trong đó $C$ là hằng số tích phân. Tuy nhiên, để kiểm tra điều này, ta cần biết thêm thông tin về hàm $f(x)$. Vì không có thông tin cụ thể về $f(x)$, ta không thể xác định $F(-1)$ dựa trên $F(1)$. Do đó, phần này không thể xác định được. b) $F(x)=\frac14\int x^3dx+\int xdx+C.$ Ta có: \[ F(x) = \int f\left(\frac{x^3 + x + 1}{x}\right) dx \] Để kiểm tra xem liệu $F(x)$ có thể viết dưới dạng $\frac{1}{4} \int x^3 dx + \int x dx + C$ hay không, ta cần biết thêm thông tin về hàm $f(x)$. Vì không có thông tin cụ thể về $f(x)$, ta không thể xác định được điều này. Do đó, phần này cũng không thể xác định được. c) $F(x)=G(x).$ Ta có: \[ F(x) = \int f\left(\frac{x^3 + x + 1}{x}\right) dx \] \[ G(x) = \int f\left(\frac{x^2 + 4x + 6}{4}\right) dx \] Để kiểm tra xem liệu $F(x)$ có thể bằng $G(x)$ hay không, ta cần biết thêm thông tin về hàm $f(x)$. Vì không có thông tin cụ thể về $f(x)$, ta không thể xác định được điều này. Do đó, phần này cũng không thể xác định được. d) $F(x)=\frac1{16}x^4+\frac12x^3+x+C.$ Ta có: \[ F(x) = \int f\left(\frac{x^3 + x + 1}{x}\right) dx \] Để kiểm tra xem liệu $F(x)$ có thể viết dưới dạng $\frac{1}{16} x^4 + \frac{1}{2} x^3 + x + C$ hay không, ta cần biết thêm thông tin về hàm $f(x)$. Vì không có thông tin cụ thể về $f(x)$, ta không thể xác định được điều này. Do đó, phần này cũng không thể xác định được. Kết luận: Vì không có thông tin cụ thể về hàm $f(x)$, ta không thể xác định được bất kỳ phần nào của câu hỏi này. Câu 14: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tính từng phần của tích phân đã cho và kiểm tra các lựa chọn a), b), c). Bước 1: Tính \(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sqrt{3}}{\sin^2 x} \right) dx\) Ta có: \[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sqrt{3}}{\sin^2 x} \right) dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \sec^2 x \, dx + \sqrt{3} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \csc^2 x \, dx \] Biết rằng: \[ \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C \] \[ \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C \] Do đó: \[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \sec^2 x \, dx = \left[ \tan x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} = \tan \left( \frac{\pi}{3} \right) - \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{3} - 1 \] \[ \sqrt{3} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \csc^2 x \, dx = \sqrt{3} \left[ -\cot x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} = \sqrt{3} \left( -\cot \left( \frac{\pi}{3} \right) + \cot \left( \frac{\pi}{4} \right) \right) = \sqrt{3} \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} + 1 \right) = \sqrt{3} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \sqrt{3} - 1 \] Tổng lại: \[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sqrt{3}}{\sin^2 x} \right) dx = (\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{3} - 1) = 2\sqrt{3} - 2 \] Bước 2: Kiểm tra các lựa chọn a) \(\int_{2}^{2} \frac{\sqrt{3}}{\sin^2 x} \, dx = \sqrt{3} + \int_{2}^{2} \frac{1}{\sin^2 x} \, dx\) Phần này không đúng vì tích phân từ 2 đến 2 của bất kỳ hàm nào đều bằng 0. b) \(\int_{x}^{x} \left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sqrt{3}}{\sin^2 x} \right) dx = 2\sqrt{3} - 2\) Phần này cũng không đúng vì tích phân từ x đến x của bất kỳ hàm nào đều bằng 0. c) \(\int_{4}^{5} \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = (\cot x) \Big|_{4}^{5}\) Phần này không đúng vì tích phân của \(\sec^2 x\) là \(\tan x\), không phải \(\cot x\). Kết luận Chỉ có phần b) là đúng khi xem xét kết quả tích phân ban đầu. Đáp án: b) \(\int_{x}^{x} \left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sqrt{3}}{\sin^2 x} \right) dx = 2\sqrt{3} - 2\)