cuuuuuuuuuuu

Để kiểm tra các phương án, chúng ta sẽ tính từng tích phân và so sánh với các đáp án đã cho. A. $\int \cos x \, dx = \sin x + C$ - Đây là công thức tích phân cơ bản của hàm cosin. Do đó, phương án này đúng. B. $\int x^e \, dx = \frac{x^{e+1}}{e+1} + C$ - Đây cũng là công thức tích phân cơ bản của hàm lũy thừa. Do đó, phương án này đúng. C. $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C$ - Đây là công thức tích phân cơ bản của hàm phân thức $\frac{1}{x}$. Do đó, phương án này đúng. D. $\int e^x \, dx = \frac{e^{x+1}}{x+1} + C$ - Đây là sai lầm vì tích phân của hàm số $e^x$ là $e^x + C$, không phải $\frac{e^{x+1}}{x+1} + C$. Do đó, phương án này sai. Kết luận: - Phương án A, B và C đều đúng. - Phương án D sai. Đáp án: D. $\int e^x \, dx = \frac{e^{x+1}}{x+1} + C$ (sai). Câu 14. Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \sin x + \cos x \) thỏa mãn \( F\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \), chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \). Nguyên hàm của \( \sin x \) là \( -\cos x \). Nguyên hàm của \( \cos x \) là \( \sin x \). Do đó, nguyên hàm của \( f(x) = \sin x + \cos x \) là: \[ F(x) = -\cos x + \sin x + C \] trong đó \( C \) là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \). Thay \( x = \frac{\pi}{2} \) vào \( F(x) \): \[ F\left( \frac{\pi}{2} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) + \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) + C \] Biết rằng \( \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0 \) và \( \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 \), ta có: \[ F\left( \frac{\pi}{2} \right) = -0 + 1 + C = 1 + C \] Theo điều kiện bài toán, \( F\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \), nên: \[ 1 + C = 2 \] \[ C = 1 \] Bước 3: Viết lại nguyên hàm \( F(x) \) với hằng số \( C \) đã tìm được. \[ F(x) = -\cos x + \sin x + 1 \] Vậy, đáp án đúng là: C. \( F(x) = -\cos x + \sin x + 1 \) Đáp số: C. \( F(x) = -\cos x + \sin x + 1 \) Câu 15. Để tìm $F(x)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của $f(x) = e^x + 2x$. Ta có: \[ F(x) = \int (e^x + 2x) \, dx \] Tính nguyên hàm từng phần: \[ \int e^x \, dx = e^x \] \[ \int 2x \, dx = x^2 \] Vậy: \[ F(x) = e^x + x^2 + C \] trong đó $C$ là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Xác định hằng số $C$ dựa trên điều kiện $F(0) = \frac{3}{2}$. Thay $x = 0$ vào $F(x)$: \[ F(0) = e^0 + 0^2 + C = 1 + C \] Theo đề bài, $F(0) = \frac{3}{2}$, nên ta có: \[ 1 + C = \frac{3}{2} \] Giải phương trình này để tìm $C$: \[ C = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \] Bước 3: Viết lại $F(x)$ với giá trị của $C$ đã tìm được. \[ F(x) = e^x + x^2 + \frac{1}{2} \] Vậy đáp án đúng là: A. $~F(x) = e^x + x^2 + \frac{1}{2}$ Câu 16. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( F(x) = 2x^3 - 2x + 1 \), ta cần tìm hàm số \( f(x) \) sao cho \( F(x) \) là nguyên hàm của \( f(x) \). Điều này có nghĩa là \( F'(x) = f(x) \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F(x) = 2x^3 - 2x + 1 \] \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3) - \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(1) \] \[ F'(x) = 6x^2 - 2 \] Bước 2: So sánh kết quả với các đáp án đã cho: A. \( f(x) = 6x^2 - 2 \) B. \( f(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^2 + x \) C. \( f(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^2 + x + c \) D. \( f(x) = 6x^2 - 2 + C \) Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân. Nhận thấy rằng \( F'(x) = 6x^2 - 2 \), nên đáp án đúng là: A. \( f(x) = 6x^2 - 2 \) Đáp án: A. \( f(x) = 6x^2 - 2 \) Câu 17. Để tìm hàm số \( f(x) \) thỏa mãn \( f'(x) = 2 - 5 \sin x \) và \( f(0) = 10 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của \( f'(x) \): Ta có: \[ f'(x) = 2 - 5 \sin x \] Nguyên hàm của \( 2 \) là \( 2x \). Nguyên hàm của \( -5 \sin x \) là \( 5 \cos x \). Do đó, nguyên hàm của \( f'(x) \) là: \[ f(x) = 2x + 5 \cos x + C \] trong đó \( C \) là hằng số. 2. Xác định hằng số \( C \): Ta biết rằng \( f(0) = 10 \). Thay \( x = 0 \) vào biểu thức \( f(x) \): \[ f(0) = 2(0) + 5 \cos(0) + C = 10 \] Biết rằng \( \cos(0) = 1 \), ta có: \[ 0 + 5 \cdot 1 + C = 10 \] \[ 5 + C = 10 \] \[ C = 5 \] 3. Viết phương trình của hàm số \( f(x) \): Thay \( C = 5 \) vào biểu thức \( f(x) \): \[ f(x) = 2x + 5 \cos x + 5 \] Do đó, mệnh đề đúng là: C. \( f(x) = 2x + 5 \cos x + 5 \) Đáp án: C. \( f(x) = 2x + 5 \cos x + 5 \) Câu 18. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ mối liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và gia tốc trong chuyển động của một vật. - \(s(t)\) là phương trình quãng đường chuyển động của một vật theo thời gian \(t\) (giây). - \(v(t)\) là phương trình vận tốc của chuyển động đó theo thời gian \(t\) (giây). Trong cơ học, vận tốc \(v(t)\) là đạo hàm của quãng đường \(s(t)\) theo thời gian \(t\): \[ v(t) = \frac{ds(t)}{dt} \] Tương tự, nếu ta tích phân vận tốc \(v(t)\) theo thời gian \(t\), ta sẽ thu được quãng đường \(s(t)\) (trừ đi hằng số \(C\)): \[ s(t) = \int v(t) \, dt + C \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương án: a) \(\int s(t) \, dt = v(t) + C\) - Điều này không đúng vì tích phân của quãng đường \(s(t)\) không phải là vận tốc \(v(t)\). b) \(\int v(t) \, dt = s(t) + C\) - Điều này đúng vì tích phân của vận tốc \(v(t)\) theo thời gian \(t\) cho ta quãng đường \(s(t)\) (trừ đi hằng số \(C\)). c) \(\int s'(t) \, dt = v(t) + C\) - Điều này không đúng vì \(s'(t)\) là đạo hàm của \(s(t)\), tức là \(s'(t) = v(t)\). Tích phân của \(v(t)\) lại cho ta \(s(t)\), không phải \(v(t)\). d) \(\int s'(t) \, dt = s(t) + C\) - Điều này đúng vì \(s'(t) = v(t)\), và tích phân của \(v(t)\) theo thời gian \(t\) cho ta quãng đường \(s(t)\) (trừ đi hằng số \(C\)). Do đó, các phương án đúng là: - b) \(\int v(t) \, dt = s(t) + C\) - d) \(\int s'(t) \, dt = s(t) + C\) Đáp án: b) và d). Câu 19. Để giải quyết các phần của bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về tích phân và đạo hàm. Phần a) Vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số \( v(t) = 2 \sin t \). Phần b) Vận tốc của vật tại thời điểm \( t = \frac{\pi}{2} \): \[ v\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot 1 = 2 \text{ m/s} \] Phần c) Quãng đường vật đi được từ thời điểm \( t = 0 \) đến thời điểm \( t = \pi \): \[ s = \int_{0}^{\pi} v(t) \, dt = \int_{0}^{\pi} 2 \sin t \, dt \] Tích phân: \[ \int 2 \sin t \, dt = -2 \cos t + C \] Do đó: \[ s = \left[ -2 \cos t \right]_{0}^{\pi} = (-2 \cos \pi) - (-2 \cos 0) = (-2 \cdot (-1)) - (-2 \cdot 1) = 2 + 2 = 4 \text{ m} \] Phần d) Quãng đường vật đi được từ thời điểm \( t = \frac{\pi}{2} \) đến thời điểm \( t = \frac{3\pi}{4} \): \[ s = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} v(t) \, dt = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} 2 \sin t \, dt \] Tích phân: \[ \int 2 \sin t \, dt = -2 \cos t + C \] Do đó: \[ s = \left[ -2 \cos t \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} = (-2 \cos \frac{3\pi}{4}) - (-2 \cos \frac{\pi}{2}) = (-2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)) - (-2 \cdot 0) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \text{ m} \] Kết luận: - Vận tốc của vật tại thời điểm \( t = \frac{\pi}{2} \) là 2 m/s. - Quãng đường vật đi được từ thời điểm \( t = 0 \) đến thời điểm \( t = \pi \) là 4 m. - Quãng đường vật đi được từ thời điểm \( t = \frac{\pi}{2} \) đến thời điểm \( t = \frac{3\pi}{4} \) là \( \sqrt{2} \) m. Câu 17. Để tính tích phân \( I = \int_{0}^{2} (2x + 1) \, dx \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 1 \). \[ \int (2x + 1) \, dx = \int 2x \, dx + \int 1 \, dx \] \[ = 2 \int x \, dx + \int 1 \, dx \] \[ = 2 \left( \frac{x^2}{2} \right) + x + C \] \[ = x^2 + x + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân trên đoạn [0, 2]. \[ I = \left[ x^2 + x \right]_{0}^{2} \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức nguyên hàm đã tìm được. \[ I = \left( 2^2 + 2 \right) - \left( 0^2 + 0 \right) \] \[ = (4 + 2) - (0 + 0) \] \[ = 6 \] Vậy tích phân \( I = \int_{0}^{2} (2x + 1) \, dx = 6 \). Đáp án đúng là: B. \( I = 6 \). Câu 18. Để tính tích phân $\int^1_0(3x+1)(x+3)dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Mở ngoặc và viết lại biểu thức dưới dạng tổng: \[ (3x + 1)(x + 3) = 3x^2 + 9x + x + 3 = 3x^2 + 10x + 3 \] Bước 2: Tính tích phân từng hạng tử riêng lẻ: \[ \int^1_0 (3x^2 + 10x + 3) \, dx = \int^1_0 3x^2 \, dx + \int^1_0 10x \, dx + \int^1_0 3 \, dx \] Bước 3: Tính từng tích phân: \[ \int^1_0 3x^2 \, dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]^1_0 = [x^3]^1_0 = 1^3 - 0^3 = 1 \] \[ \int^1_0 10x \, dx = 10 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^1_0 = 10 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^1_0 = 10 \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \] \[ \int^1_0 3 \, dx = 3 \left[ x \right]^1_0 = 3 (1 - 0) = 3 \] Bước 4: Cộng các kết quả lại: \[ \int^1_0 (3x^2 + 10x + 3) \, dx = 1 + 5 + 3 = 9 \] Vậy tích phân $\int^1_0(3x+1)(x+3)dx$ bằng 9. Đáp án đúng là: B. 9. Câu 19. Để tính giá trị của $\int^\pi_0\sin xdx$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của $\sin x$. Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x$. Do đó: $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$ Bước 2: Áp dụng cận trên và cận dưới vào nguyên hàm. $\int^\pi_0 \sin x \, dx = \left[-\cos x\right]^\pi_0$ Bước 3: Tính giá trị tại các cận. $= -\cos(\pi) - (-\cos(0))$ $= -(-1) - (-1)$ $= 1 + 1$ $= 2$ Vậy giá trị của $\int^\pi_0 \sin x \, dx$ là 2. Do đó, đáp án đúng là: D. 2. Câu 20. Để tính $\int^3_0 6f(x) dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân liên quan đến hằng số nhân: \[ \int^3_0 6f(x) dx = 6 \int^3_0 f(x) dx \] Theo đề bài, ta biết rằng: \[ \int^3_0 f(x) dx = 3 \] Do đó, thay giá trị này vào biểu thức trên, ta có: \[ \int^3_0 6f(x) dx = 6 \times 3 = 18 \] Vậy, $\int^3_0 6f(x) dx$ bằng 18. Đáp số: 18