cho Cho hình lập phương ABCD.EFGH cạnh 1. Điểm M được cho thỏa mãn hệ thức. tính khoảng cách từ M(-3;0;-1) đến mp(ebd)

Để tính khoảng cách từ điểm \( M(-3;0;-1) \) đến mặt phẳng \( (EBD) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của mặt phẳng \( (EBD) \): - Mặt phẳng \( (EBD) \) đi qua các điểm \( E(1;0;1) \), \( B(1;1;0) \), và \( D(0;0;1) \). Ta tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (EBD) \): - Vectơ \( \overrightarrow{EB} = (1-1; 1-0; 0-1) = (0; 1; -1) \) - Vectơ \( \overrightarrow{ED} = (0-1; 0-0; 1-1) = (-1; 0; 0) \) Vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \) của mặt phẳng \( (EBD) \) là tích vector của \( \overrightarrow{EB} \) và \( \overrightarrow{ED} \): \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0 - (-1) \cdot 0) \vec{i} - (0 \cdot (-1) - (-1) \cdot (-1)) \vec{j} + (0 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) \vec{k} = (0; -1; 1) \] Phương trình mặt phẳng \( (EBD) \) có dạng: \[ 0(x - 1) - 1(y - 0) + 1(z - 1) = 0 \implies -y + z - 1 = 0 \implies y - z + 1 = 0 \] 2. Áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: - Công thức khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] - Ở đây, \( a = 0 \), \( b = 1 \), \( c = -1 \), \( d = 1 \), và điểm \( M(-3; 0; -1) \). Thay vào công thức: \[ d = \frac{|0 \cdot (-3) + 1 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) + 1|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|0 + 0 + 1 + 1|}{\sqrt{0 + 1 + 1}} = \frac{|2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(-3;0;-1) \) đến mặt phẳng \( (EBD) \) là \( \sqrt{2} \).