Xin cách giải

Câu 6: Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$, ta thực hiện phép chia đa thức như sau: 1. Chia tử số $x^2 + x + 1$ cho mẫu số $x + 1$: \[ \begin{array}{r|rr} & x & + 0 \\ \hline x + 1 & x^2 & + x & + 1 \\ & -(x^2 & + x) & \\ \hline & 0 & 0 & + 1 \\ \end{array} \] Kết quả của phép chia là: \[ \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x + \frac{1}{x + 1} \] 2. Xét giới hạn của phần dư $\frac{1}{x + 1}$ khi $x$ tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x + 1} = 0 \] Do đó, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng $y = x$. Vậy đáp án đúng là: D. $y = x$. Câu 7: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức của cấp số cộng. Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng được tính bằng cách cộng thêm một hằng số (gọi là công sai) vào số hạng trước đó. Công thức chung của số hạng thứ n trong cấp số cộng là: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Trong đó: - \( u_n \) là số hạng thứ n. - \( u_1 \) là số hạng đầu tiên. - \( d \) là công sai. - \( n \) là vị trí của số hạng trong dãy. Bây giờ, ta sẽ áp dụng công thức này để tìm công sai \( d \). Biết rằng: - \( u_1 = 2023 \) - \( u_3 = 2027 \) Áp dụng công thức cho số hạng thứ 3: \[ u_3 = u_1 + 2d \] \[ 2027 = 2023 + 2d \] Giải phương trình này để tìm \( d \): \[ 2027 - 2023 = 2d \] \[ 4 = 2d \] \[ d = 2 \] Bây giờ, ta đã biết công sai \( d = 2 \). Ta sẽ tìm số hạng thứ 2 (\( u_2 \)) bằng cách sử dụng công thức: \[ u_2 = u_1 + d \] \[ u_2 = 2023 + 2 \] \[ u_2 = 2025 \] Vậy số hạng thứ 2 là 2025. Đáp án đúng là: B. 2025. Câu 8: Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số học viên: Tổng số học viên = 10 + 30 + 55 + 42 + 9 = 146 học viên. 2. Xác định các phần tử Q1 và Q3: - Phần tử Q1 nằm ở vị trí $\frac{n}{4} = \frac{146}{4} = 36,5$. Do đó, Q1 nằm trong khoảng thứ hai ([2;4)). - Phần tử Q3 nằm ở vị trí $\frac{3n}{4} = \frac{3 \times 146}{4} = 109,5$. Do đó, Q3 nằm trong khoảng thứ tư ([6;8)). 3. Tính giá trị của Q1 và Q3: - Q1 nằm trong khoảng [2;4). Ta tính: \[ Q1 = 2 + \left( \frac{36,5 - 10}{30} \right) \times 2 = 2 + \left( \frac{26,5}{30} \right) \times 2 = 2 + 1,7667 = 3,7667 \] - Q3 nằm trong khoảng [6;8). Ta tính: \[ Q3 = 6 + \left( \frac{109,5 - (10 + 30 + 55)}{42} \right) \times 2 = 6 + \left( \frac{109,5 - 95}{42} \right) \times 2 = 6 + \left( \frac{14,5}{42} \right) \times 2 = 6 + 0,6875 = 6,6875 \] 4. Tính khoảng tứ phân vị: \[ Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 6,6875 - 3,7667 = 2,9208 \] Do đó, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là 2,92. Đáp án đúng là: A. 2,92. Câu 9: Để ba điểm \( A(-1;1;2) \), \( B(0;1;-1) \) và \( C(x+2;y;-2) \) thẳng hàng, vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và vectơ \( \overrightarrow{AC} \) phải cùng phương. Ta sẽ tính hai vectơ này và tìm điều kiện để chúng cùng phương. 1. Tính vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - (-1); 1 - 1; -1 - 2) = (1; 0; -3) \] 2. Tính vectơ \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AC} = C - A = ((x + 2) - (-1); y - 1; -2 - 2) = (x + 3; y - 1; -4) \] 3. Để \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \) cùng phương, tồn tại số thực \( k \) sao cho: \[ \overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB} \] \[ (x + 3; y - 1; -4) = k \cdot (1; 0; -3) \] Từ đây ta có hệ phương trình: \[ x + 3 = k \quad \text{(1)} \] \[ y - 1 = 0 \quad \text{(2)} \] \[ -4 = -3k \quad \text{(3)} \] Giải phương trình (2): \[ y - 1 = 0 \implies y = 1 \] Giải phương trình (3): \[ -4 = -3k \implies k = \frac{4}{3} \] Thay \( k = \frac{4}{3} \) vào phương trình (1): \[ x + 3 = \frac{4}{3} \implies x = \frac{4}{3} - 3 = \frac{4}{3} - \frac{9}{3} = -\frac{5}{3} \] Vậy \( x = -\frac{5}{3} \) và \( y = 1 \). Tổng \( x + y \) là: \[ x + y = -\frac{5}{3} + 1 = -\frac{5}{3} + \frac{3}{3} = -\frac{2}{3} \] Đáp án đúng là: C. \( -\frac{2}{3} \). Câu 10: Tọa độ của vectơ $\overrightarrow u$ được xác định từ các thành phần của nó theo các đơn vị vectơ cơ bản $\overrightarrow i$, $\overrightarrow j$, và $\overrightarrow k$. Trong bài toán này, ta có: \[ \overrightarrow u = -20\overrightarrow i + 6\overrightarrow j + 9\overrightarrow k \] Từ đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow u$ là: \[ (-20, 6, 9) \] Do đó, đáp án đúng là: A. $(-20; 6; 9)$ Đáp số: A. $(-20; 6; 9)$ Câu 11: Để tìm tọa độ của điểm \( D \) sao cho \( ABCD \) là hình bình hành, ta cần sử dụng tính chất của hình bình hành: hai vectơ đối diện bằng nhau. Tọa độ của các điểm đã cho: - \( A(2;0;1) \) - \( B(5;1;-2) \) - \( C(-1;-6;3) \) Ta cần tìm tọa độ của điểm \( D(x;y;z) \). Trong hình bình hành, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \] Tính tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = (5 - 2; 1 - 0; -2 - 1) = (3; 1; -3) \] Tính tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{DC} \): \[ \overrightarrow{DC} = (-1 - x; -6 - y; 3 - z) \] Vì \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \), ta có: \[ (3; 1; -3) = (-1 - x; -6 - y; 3 - z) \] So sánh từng thành phần: 1. \( 3 = -1 - x \) \[ x = -1 - 3 = -4 \] 2. \( 1 = -6 - y \) \[ y = -6 - 1 = -7 \] 3. \( -3 = 3 - z \) \[ z = 3 + 3 = 6 \] Vậy tọa độ của điểm \( D \) là \( (-4; -7; 6) \). Tiếp theo, ta cần tìm tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{CD} \): \[ \overrightarrow{CD} = (-4 - (-1); -7 - (-6); 6 - 3) = (-4 + 1; -7 + 6; 6 - 3) = (-3; -1; 3) \] Nhưng trong các đáp án đã cho, tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{CD} \) là: A. \( (2;1;-2) \) B. \( (-2;1;3) \) C. \( (2;1;-3) \) D. \( (3;1;-3) \) Do đó, tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{CD} \) là \( (3;1;-3) \). Đáp án đúng là: D. \( (3;1;-3) \) Câu 12: Hình chiếu vuông góc của điểm \( A(-1;2;3) \) lên mặt phẳng \( (Oxy) \) là điểm có tọa độ \( (-1;2;0) \). Lý do: - Mặt phẳng \( (Oxy) \) có phương trình \( z = 0 \). - Hình chiếu vuông góc của điểm \( A(-1;2;3) \) lên mặt phẳng \( (Oxy) \) là điểm có cùng tọa độ \( x \) và \( y \) với điểm \( A \), nhưng tọa độ \( z \) bằng 0. Vậy đáp án đúng là B. \( (-1;2;0) \).