Giải hộ em với ạ

Bài tập 2: Để tìm $F(x)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của $f(x)$. $f(x) = \frac{1 + 2x^2}{x} = \frac{1}{x} + 2x$ Nguyên hàm của $\frac{1}{x}$ là $\ln|x|$. Nguyên hàm của $2x$ là $x^2$. Do đó, nguyên hàm của $f(x)$ là: \[ F(x) = \ln|x| + x^2 + C \] Bước 2: Xác định hằng số $C$ dựa trên điều kiện $F(-1) = 3$. Thay $x = -1$ vào $F(x)$: \[ F(-1) = \ln|-1| + (-1)^2 + C = 0 + 1 + C = 1 + C \] Theo đề bài, $F(-1) = 3$, nên ta có: \[ 1 + C = 3 \] \[ C = 2 \] Bước 3: Viết lại $F(x)$ với giá trị của $C$ đã tìm được. \[ F(x) = \ln|x| + x^2 + 2 \] Vậy, $F(x)$ là: \[ F(x) = \ln|x| + x^2 + 2 \] Bài tập 3: Để tính $F(e)$, ta cần tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{2x + 1}$ và sử dụng điều kiện ban đầu $F(0) = 2$ để xác định hằng số tích phân. Bước 1: Tìm nguyên hàm của $f(x)$ Ta có: \[ f(x) = \frac{1}{2x + 1} \] Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \[ \int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C \] Ở đây, ta đặt $u = 2x + 1$, vậy $du = 2 \, dx$. Do đó: \[ \int \frac{1}{2x + 1} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{2}{2x + 1} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln |u| + C = \frac{1}{2} \ln |2x + 1| + C \] Vậy nguyên hàm của $f(x)$ là: \[ F(x) = \frac{1}{2} \ln |2x + 1| + C \] Bước 2: Xác định hằng số tích phân $C$ Sử dụng điều kiện ban đầu $F(0) = 2$: \[ F(0) = \frac{1}{2} \ln |2 \cdot 0 + 1| + C = \frac{1}{2} \ln 1 + C = 0 + C = C \] \[ C = 2 \] Do đó, hàm số nguyên hàm cụ thể là: \[ F(x) = \frac{1}{2} \ln |2x + 1| + 2 \] Bước 3: Tính $F(e)$ Thay $x = e$ vào biểu thức của $F(x)$: \[ F(e) = \frac{1}{2} \ln |2e + 1| + 2 \] Vậy giá trị của $F(e)$ là: \[ F(e) = \frac{1}{2} \ln (2e + 1) + 2 \] Đáp số: \[ F(e) = \frac{1}{2} \ln (2e + 1) + 2 \] Bài tập 4: Để tìm hàm số $f(x)$, ta cần tích phân hàm số $f'(x)$ và sử dụng điều kiện ban đầu để xác định hằng số tích phân. Bước 1: Tích phân hàm số $f'(x)$ Ta có: \[ f'(x) = 2 - 5\sin x \] Tích phân cả hai vế theo biến $x$, ta được: \[ f(x) = \int (2 - 5\sin x) \, dx \] Bước 2: Thực hiện tích phân từng phần Tích phân từng thành phần: \[ f(x) = \int 2 \, dx - \int 5\sin x \, dx \] \[ f(x) = 2x + C_1 - (-5\cos x) + C_2 \] \[ f(x) = 2x + 5\cos x + C \] Trong đó, $C = C_1 + C_2$ là hằng số tích phân. Bước 3: Áp dụng điều kiện ban đầu để xác định hằng số $C$ Theo đề bài, ta có $f(0) = 10$. Thay vào phương trình trên: \[ f(0) = 2(0) + 5\cos(0) + C = 10 \] \[ 0 + 5(1) + C = 10 \] \[ 5 + C = 10 \] \[ C = 5 \] Bước 4: Viết phương trình cuối cùng của hàm số $f(x)$ Thay giá trị của $C$ vào phương trình, ta được: \[ f(x) = 2x + 5\cos x + 5 \] Vậy hàm số $f(x)$ là: \[ f(x) = 2x + 5\cos x + 5 \] Bài tập 5: Để tính giá trị của \( F(-1) + 2F(2) \), chúng ta cần tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) \) và sử dụng điều kiện \( F(0) = 2 \). Hàm số \( f(x) \) được định nghĩa như sau: \[ f(x) = \begin{cases} 2x + 3 & \text{khi } x \geq 1 \\ 3x^2 + 2 & \text{khi } x < 1 \end{cases} \] Bước 1: Tìm nguyên hàm \( F(x) \) - Khi \( x \geq 1 \): \[ F(x) = \int (2x + 3) \, dx = x^2 + 3x + C_1 \] - Khi \( x < 1 \): \[ F(x) = \int (3x^2 + 2) \, dx = x^3 + 2x + C_2 \] Bước 2: Xác định hằng số \( C_1 \) và \( C_2 \) bằng điều kiện liên tục tại \( x = 1 \) Tại \( x = 1 \), hai nguyên hàm phải liên tục: \[ F(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 + C_1 = 1 + 3 + C_1 = 4 + C_1 \] \[ F(1) = 1^3 + 2 \cdot 1 + C_2 = 1 + 2 + C_2 = 3 + C_2 \] Do đó: \[ 4 + C_1 = 3 + C_2 \] \[ C_1 = C_2 - 1 \] Bước 3: Sử dụng điều kiện \( F(0) = 2 \) Khi \( x = 0 \): \[ F(0) = 0^3 + 2 \cdot 0 + C_2 = C_2 \] \[ C_2 = 2 \] Vậy: \[ C_1 = 2 - 1 = 1 \] Bước 4: Viết lại nguyên hàm \( F(x) \) - Khi \( x \geq 1 \): \[ F(x) = x^2 + 3x + 1 \] - Khi \( x < 1 \): \[ F(x) = x^3 + 2x + 2 \] Bước 5: Tính \( F(-1) \) và \( F(2) \) - \( F(-1) \): \[ F(-1) = (-1)^3 + 2(-1) + 2 = -1 - 2 + 2 = -1 \] - \( F(2) \): \[ F(2) = 2^2 + 3 \cdot 2 + 1 = 4 + 6 + 1 = 11 \] Bước 6: Tính \( F(-1) + 2F(2) \) \[ F(-1) + 2F(2) = -1 + 2 \cdot 11 = -1 + 22 = 21 \] Vậy giá trị của \( F(-1) + 2F(2) \) là: \[ \boxed{21} \] Bài tập 6: Để tìm số lượng vi khuẩn sau 3 ngày, ta cần biết hàm số mô tả sự tăng trưởng của vi khuẩn theo thời gian. Biết rằng tốc độ tăng trưởng của vi khuẩn là \( f(t) = \frac{300}{0,25t} \), ta sẽ tìm hàm số \( F(t) \) biểu thị số lượng vi khuẩn tại thời điểm \( t \). Bước 1: Tính nguyên hàm của \( f(t) \): \[ F(t) = \int f(t) \, dt = \int \frac{300}{0,25t} \, dt \] Bước 2: Đơn giản hóa biểu thức: \[ F(t) = \int \frac{300}{0,25t} \, dt = \int \frac{300}{\frac{1}{4}t} \, dt = \int \frac{300 \times 4}{t} \, dt = \int \frac{1200}{t} \, dt \] Bước 3: Tính nguyên hàm: \[ F(t) = 1200 \int \frac{1}{t} \, dt = 1200 \ln |t| + C \] Bước 4: Xác định hằng số \( C \) bằng cách sử dụng điều kiện ban đầu \( t = 1 \) và số lượng vi khuẩn là 1000 con: \[ F(1) = 1200 \ln |1| + C = 1000 \] \[ 1200 \cdot 0 + C = 1000 \] \[ C = 1000 \] Do đó, hàm số biểu thị số lượng vi khuẩn là: \[ F(t) = 1200 \ln |t| + 1000 \] Bước 5: Tìm số lượng vi khuẩn sau 3 ngày (\( t = 3 \)): \[ F(3) = 1200 \ln |3| + 1000 \] \[ F(3) = 1200 \ln 3 + 1000 \] Bước 6: Tính giá trị cụ thể: \[ \ln 3 \approx 1,0986 \] \[ F(3) = 1200 \times 1,0986 + 1000 \] \[ F(3) \approx 1318,32 + 1000 \] \[ F(3) \approx 2318,32 \] Vậy sau 3 ngày, số lượng vi khuẩn là khoảng 2318 con. Bài tập 7: Để tìm thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm hàm số \( h(t) \): - Biết rằng \( h'(t) = 3at^2 + bt \). - Để tìm \( h(t) \), ta cần tích phân \( h'(t) \): \[ h(t) = \int (3at^2 + bt) \, dt = at^3 + \frac{b}{2}t^2 + C \] - Ban đầu bể không có nước, tức là \( h(0) = 0 \). Do đó, \( C = 0 \). Vậy: \[ h(t) = at^3 + \frac{b}{2}t^2 \] 2. Xác định các hệ số \( a \) và \( b \): - Biết rằng sau 5 giây, thể tích nước trong bể là 150 m³: \[ h(5) = a(5)^3 + \frac{b}{2}(5)^2 = 125a + \frac{25b}{2} = 150 \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ phân số: \[ 250a + 25b = 300 \quad \text{(1)} \] - Biết rằng sau 10 giây, thể tích nước trong bể là 1100 m³: \[ h(10) = a(10)^3 + \frac{b}{2}(10)^2 = 1000a + 50b = 1100 \] Chia cả hai vế cho 50: \[ 20a + b = 22 \quad \text{(2)} \] 3. Giải hệ phương trình: - Từ phương trình (2), ta có: \[ b = 22 - 20a \] - Thay vào phương trình (1): \[ 250a + 25(22 - 20a) = 300 \] \[ 250a + 550 - 500a = 300 \] \[ -250a + 550 = 300 \] \[ -250a = -250 \] \[ a = 1 \] - Thay \( a = 1 \) vào \( b = 22 - 20a \): \[ b = 22 - 20(1) = 2 \] 4. Tìm thể tích nước sau 20 giây: - Bây giờ ta đã biết \( a = 1 \) và \( b = 2 \), vậy: \[ h(t) = t^3 + t^2 \] - Thể tích nước sau 20 giây: \[ h(20) = 20^3 + 20^2 = 8000 + 400 = 8400 \, m^3 \] Đáp số: Thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là 8400 m³. Bài tập 8: Để tìm thời gian \( t \) mà chất điểm đạt vận tốc 18 m/s, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình vận tốc theo thời gian: Gia tốc \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc \( v(t) \): \[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} \] Ta có: \[ \frac{dv(t)}{dt} = 2t - 7 \] 2. Tích phân để tìm vận tốc \( v(t) \): Tích phân cả hai vế: \[ dv(t) = (2t - 7) dt \] \[ v(t) = \int (2t - 7) dt \] \[ v(t) = t^2 - 7t + C \] Trong đó \( C \) là hằng số tích phân. 3. Xác định hằng số \( C \) bằng vận tốc ban đầu: Biết rằng vận tốc ban đầu \( v(0) = 10 \) m/s: \[ v(0) = 0^2 - 7 \cdot 0 + C = 10 \] \[ C = 10 \] Vậy phương trình vận tốc là: \[ v(t) = t^2 - 7t + 10 \] 4. Tìm thời gian \( t \) khi vận tốc đạt 18 m/s: Thay \( v(t) = 18 \) vào phương trình vận tốc: \[ 18 = t^2 - 7t + 10 \] \[ t^2 - 7t + 10 - 18 = 0 \] \[ t^2 - 7t - 8 = 0 \] 5. Giải phương trình bậc hai: Phương trình \( t^2 - 7t - 8 = 0 \) có dạng \( at^2 + bt + c = 0 \), với \( a = 1 \), \( b = -7 \), \( c = -8 \). Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ t = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} \] \[ t = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2} \] \[ t = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2} \] \[ t = \frac{7 \pm 9}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ t_1 = \frac{7 + 9}{2} = 8 \] \[ t_2 = \frac{7 - 9}{2} = -1 \] Vì thời gian \( t \) không thể âm, nên ta loại nghiệm \( t_2 = -1 \). 6. Kết luận: Chất điểm đạt vận tốc 18 m/s sau thời gian \( t = 8 \) giây. Đáp số: \( t = 8 \) giây.