dụdjdhbdbdbfbfbfb

Câu 7.1. Để tìm giá trị của $\cos \alpha$ khi $\alpha$ là góc tù và $\sin \alpha = \frac{5}{13}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Áp dụng công thức Pythagoras trong tam giác vuông: Ta biết rằng: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Thay giá trị của $\sin \alpha$ vào: \[ \left(\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{25}{169} + \cos^2 \alpha = 1 \] 2. Giải phương trình để tìm $\cos^2 \alpha$: \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{169}{169} - \frac{25}{169} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{144}{169} \] 3. Tìm giá trị của $\cos \alpha$: \[ \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} \] \[ \cos \alpha = \pm \frac{12}{13} \] 4. Xác định dấu của $\cos \alpha$ dựa trên tính chất của góc tù: Vì $\alpha$ là góc tù (góc lớn hơn 90° nhưng nhỏ hơn 180°), $\cos \alpha$ sẽ là số âm. Do đó, giá trị của $\cos \alpha$ là: \[ \cos \alpha = -\frac{12}{13} \] Vậy đáp án đúng là: D. $-\frac{12}{13}$ Câu 8. Trong tam giác ABC, ta có góc B = 120°. Áp dụng định lý余弦定理，我们可以得到： \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \] 因为 \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\)，所以代入上式得： \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ b^2 = a^2 + c^2 + ac \] 因此，正确的等式是： C. \( b^2 = a^2 + c^2 + ac \) 答案是：C. \( b^2 = a^2 + c^2 + ac \) Câu 9.1 Áp dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết hai cạnh và góc xen kẽ giữa chúng, ta có: Diện tích tam giác \(ABC\) là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin(B) \] Thay các giá trị đã cho vào công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin(60^\circ) \] Biết rằng \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), ta có: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S_{ABC} = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S_{ABC} = 10\sqrt{3} \] Vậy diện tích của tam giác \(ABC\) là \(10\sqrt{3}\). Đáp án đúng là: B. \(10\sqrt{3}\). Câu 9.2. Ta sẽ sử dụng Định lý Sin trong tam giác ABC để tìm số đo góc $\widehat C$. Theo Định lý Sin: \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \frac{5}{\sin C} = \frac{5\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} \] Biết rằng $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, ta có: \[ \frac{5}{\sin C} = \frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] Rút gọn phân số bên phải: \[ \frac{5}{\sin C} = \frac{5\sqrt{3} \times 2}{\sqrt{3}} = 10 \] Do đó: \[ \sin C = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \] Số đo góc $\widehat C$ có thể là $30^\circ$ hoặc $150^\circ$. Tuy nhiên, vì tổng các góc trong tam giác là $180^\circ$, và $\widehat A = 60^\circ$, nên $\widehat C$ không thể là $150^\circ$ (vì $60^\circ + 150^\circ > 180^\circ$). Vậy số đo góc $\widehat C$ là $30^\circ$. Đáp án đúng là: A. $30^\circ$. Câu 10: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình bình hành ABCD, các cạnh đối diện song song và bằng nhau. Do đó, các vectơ tương ứng cũng sẽ có các tính chất tương tự. A. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$ - Điều này không đúng vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ không cùng hướng và không cùng độ dài. B. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ - Điều này đúng vì trong hình bình hành, các cạnh đối diện song song và bằng nhau. Do đó, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ có cùng hướng và cùng độ dài. C. $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$ - Điều này không đúng vì $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ là các vectơ chéo của hình bình hành, chúng không cùng hướng và không cùng độ dài. D. $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CB}|$ - Điều này không đúng vì $|\overrightarrow{AB}|$ và $|\overrightarrow{CB}|$ là độ dài của hai cạnh kề của hình bình hành, chúng không phải lúc nào cũng bằng nhau. Vậy, đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Câu 11: Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ trong tam giác và tính chất của vectơ. Trước tiên, ta có: \[ \overrightarrow{MB} = 3 \overrightarrow{MC} \] Ta sẽ biểu diễn vectơ \(\overrightarrow{AM}\) theo các vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\). Bước 1: Biểu diễn \(\overrightarrow{MB}\) và \(\overrightarrow{MC}\): \[ \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{B} \] \[ \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{C} \] Theo đề bài: \[ \overrightarrow{MB} = 3 \overrightarrow{MC} \] \[ \overrightarrow{M} - \overrightarrow{B} = 3 (\overrightarrow{M} - \overrightarrow{C}) \] Bước 2: Giải phương trình vectơ: \[ \overrightarrow{M} - \overrightarrow{B} = 3 \overrightarrow{M} - 3 \overrightarrow{C} \] \[ \overrightarrow{M} - 3 \overrightarrow{M} = \overrightarrow{B} - 3 \overrightarrow{C} \] \[ -2 \overrightarrow{M} = \overrightarrow{B} - 3 \overrightarrow{C} \] \[ \overrightarrow{M} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{B} + \frac{3}{2} \overrightarrow{C} \] Bước 3: Biểu diễn \(\overrightarrow{AM}\): \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{A} \] \[ \overrightarrow{AM} = \left( -\frac{1}{2} \overrightarrow{B} + \frac{3}{2} \overrightarrow{C} \right) - \overrightarrow{A} \] \[ \overrightarrow{AM} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{B} + \frac{3}{2} \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} \] Bước 4: Biểu diễn \(\overrightarrow{B}\) và \(\overrightarrow{C}\) theo \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{B} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{AB} \] \[ \overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{AC} \] Thay vào: \[ \overrightarrow{AM} = -\frac{1}{2} (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{AB}) + \frac{3}{2} (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{AC}) - \overrightarrow{A} \] \[ \overrightarrow{AM} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{3}{2} \overrightarrow{A} + \frac{3}{2} \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{A} \] \[ \overrightarrow{AM} = \left( -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 1 \right) \overrightarrow{A} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{3}{2} \overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{AM} = 0 \cdot \overrightarrow{A} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{3}{2} \overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{AM} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{3}{2} \overrightarrow{AC} \] Vậy đáp án đúng là: A. $\overrightarrow{AM} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{3}{2} \overrightarrow{AC}$. Câu 12: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong tam giác đều ABC, mỗi góc nội tiếp đều bằng 60°. Ta sẽ tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ được tính theo công thức: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\theta) \] trong đó $\theta$ là góc giữa hai vectơ. Áp dụng vào bài toán: - Độ dài của $\overrightarrow{AB}$ là $a$. - Độ dài của $\overrightarrow{BC}$ cũng là $a$. - Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ là 120° (vì góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ là 180° - 60°). Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = a \cdot a \cdot \cos(120^\circ) \] Biết rằng $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, ta thay vào: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = a^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{a^2}{2} \] Vậy đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = -\frac{a^2}{2}$. Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định các tập hợp đã cho và thực hiện các phép toán tập hợp theo yêu cầu. 1. Xác định các tập hợp: - Tập hợp \( A = \{x \in \mathbb{R} | -3 \leq x < 5\} \) - Tập hợp \( B = \{x \in \mathbb{R} | x \leq 4\} \) - Tập hợp \( C = (0; +\infty) \) 2. Tìm giao của các tập hợp \( A \cap B \): - \( A \cap B = \{x \in \mathbb{R} | -3 \leq x < 5 \text{ và } x \leq 4\} \) - Điều kiện chung là \( -3 \leq x \leq 4 \) - Vậy \( A \cap B = [-3, 4] \) 3. Tìm giao của \( A \cap B \) với tập hợp \( C \): - \( (A \cap B) \cap C = \{x \in \mathbb{R} | -3 \leq x \leq 4 \text{ và } x > 0\} \) - Điều kiện chung là \( 0 < x \leq 4 \) - Vậy \( (A \cap B) \cap C = (0, 4] \) Kết luận: \( (A \cap B) \cap C = (0, 4] \) Đáp số: \( (0, 4] \)