Cho tôi đáp án ví dụ 1

Ví dụ 1: Để viết khai triển của các nhị thức $(a+b)^5$ và $(3-2x)^5$, ta sẽ sử dụng tam giác Pascal để tìm các hệ số của các hạng tử trong khai triển. a) Khai triển $(a+b)^5$ Bước 1: Xác định hàng thứ 6 của tam giác Pascal (vì $(a+b)^5$ tương ứng với hàng thứ 6): 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Bước 2: Viết khai triển dựa vào các hệ số từ hàng thứ 6: \[ (a+b)^5 = 1 \cdot a^5 \cdot b^0 + 5 \cdot a^4 \cdot b^1 + 10 \cdot a^3 \cdot b^2 + 10 \cdot a^2 \cdot b^3 + 5 \cdot a^1 \cdot b^4 + 1 \cdot a^0 \cdot b^5 \] Bước 3: Tính toán và gom lại: \[ (a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 \] b) Khai triển $(3-2x)^5$ Bước 1: Xác định hàng thứ 6 của tam giác Pascal (như ở trên). Bước 2: Viết khai triển dựa vào các hệ số từ hàng thứ 6: \[ (3-2x)^5 = 1 \cdot 3^5 \cdot (-2x)^0 + 5 \cdot 3^4 \cdot (-2x)^1 + 10 \cdot 3^3 \cdot (-2x)^2 + 10 \cdot 3^2 \cdot (-2x)^3 + 5 \cdot 3^1 \cdot (-2x)^4 + 1 \cdot 3^0 \cdot (-2x)^5 \] Bước 3: Tính toán và gom lại: \[ (3-2x)^5 = 3^5 - 5 \cdot 3^4 \cdot 2x + 10 \cdot 3^3 \cdot 4x^2 - 10 \cdot 3^2 \cdot 8x^3 + 5 \cdot 3 \cdot 16x^4 - 32x^5 \] \[ = 243 - 5 \cdot 81 \cdot 2x + 10 \cdot 27 \cdot 4x^2 - 10 \cdot 9 \cdot 8x^3 + 5 \cdot 3 \cdot 16x^4 - 32x^5 \] \[ = 243 - 810x + 1080x^2 - 720x^3 + 240x^4 - 32x^5 \] Đáp số: a) $(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$ b) $(3-2x)^5 = 243 - 810x + 1080x^2 - 720x^3 + 240x^4 - 32x^5$ Ví dụ 2: Để viết khai triển của các nhị thức $(a+b)^6$ và $(3x+2)^6$, ta sẽ sử dụng tam giác Pascal để tìm các hệ số của các hạng tử trong khai triển. a) Khai triển $(a+b)^6$ Bước 1: Xác định hàng thứ 6 trong tam giác Pascal: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Hàng thứ 6 là: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 Bước 2: Viết khai triển dựa vào các hệ số từ hàng thứ 6: \[ (a + b)^6 = 1 \cdot a^6 \cdot b^0 + 6 \cdot a^5 \cdot b^1 + 15 \cdot a^4 \cdot b^2 + 20 \cdot a^3 \cdot b^3 + 15 \cdot a^2 \cdot b^4 + 6 \cdot a^1 \cdot b^5 + 1 \cdot a^0 \cdot b^6 \] Bước 3: Tính toán và ghi kết quả: \[ (a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6 \] b) Khai triển $(3x+2)^6$ Bước 1: Xác định hàng thứ 6 trong tam giác Pascal (như đã tính ở trên). Bước 2: Viết khai triển dựa vào các hệ số từ hàng thứ 6: \[ (3x + 2)^6 = 1 \cdot (3x)^6 \cdot 2^0 + 6 \cdot (3x)^5 \cdot 2^1 + 15 \cdot (3x)^4 \cdot 2^2 + 20 \cdot (3x)^3 \cdot 2^3 + 15 \cdot (3x)^2 \cdot 2^4 + 6 \cdot (3x)^1 \cdot 2^5 + 1 \cdot (3x)^0 \cdot 2^6 \] Bước 3: Tính toán và ghi kết quả: \[ (3x + 2)^6 = 1 \cdot 729x^6 \cdot 1 + 6 \cdot 243x^5 \cdot 2 + 15 \cdot 81x^4 \cdot 4 + 20 \cdot 27x^3 \cdot 8 + 15 \cdot 9x^2 \cdot 16 + 6 \cdot 3x \cdot 32 + 1 \cdot 1 \cdot 64 \] \[ = 729x^6 + 2916x^5 + 4860x^4 + 4320x^3 + 2160x^2 + 576x + 64 \] Đáp số: a) $(a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$ b) $(3x + 2)^6 = 729x^6 + 2916x^5 + 4860x^4 + 4320x^3 + 2160x^2 + 576x + 64$ Ví dụ 3: Để viết khai triển của các nhị thức $(a+b)^7$ và $(2x-1)^7$, ta sẽ sử dụng tam giác Pascal để tìm các hệ số của các hạng tử trong khai triển. a) Khai triển $(a+b)^7$ Bước 1: Xác định hàng thứ 7 trong tam giác Pascal: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 Hàng thứ 7 là: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 Bước 2: Viết khai triển dựa vào các hệ số từ hàng thứ 7: \[ (a + b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7 \] b) Khai triển $(2x - 1)^7$ Bước 1: Xác định hàng thứ 7 trong tam giác Pascal (như đã tính ở trên). Bước 2: Thay $a = 2x$ và $b = -1$ vào khai triển: \[ (2x - 1)^7 = (2x)^7 + 7(2x)^6(-1) + 21(2x)^5(-1)^2 + 35(2x)^4(-1)^3 + 35(2x)^3(-1)^4 + 21(2x)^2(-1)^5 + 7(2x)(-1)^6 + (-1)^7 \] Bước 3: Tính toán các hạng tử: \[ (2x - 1)^7 = 128x^7 - 7 \cdot 64x^6 + 21 \cdot 32x^5 - 35 \cdot 16x^4 + 35 \cdot 8x^3 - 21 \cdot 4x^2 + 7 \cdot 2x - 1 \] \[ = 128x^7 - 448x^6 + 672x^5 - 560x^4 + 280x^3 - 84x^2 + 14x - 1 \] Đáp số: a) $(a + b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$ b) $(2x - 1)^7 = 128x^7 - 448x^6 + 672x^5 - 560x^4 + 280x^3 - 84x^2 + 14x - 1$