Cho tôi đáp án ví dụ 1 Ví dụ 1: Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của các nhị thức:,$a)~(a+b)^5$ $b)~(3-2x)^5$,Ví dụ 2: Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của các nhị thức:,$a)~(a+b)^6$ $b)~(3x+2)^6$,Ví dụ 3: Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của các nhị thức:,$a)~(a+b)^7$ $b)~(2x-1)^7$

Question

Accepted Answer

Ví dụ 1:
Để viết khai triển của các nhị thức $(a+b)^5$ và $(3-2x)^5$, ta sẽ sử dụng tam giác Pascal để tìm các hệ số của các hạng tử trong khai triển.

a) Khai triển $(a+b)^5$

Bước 1: Xác định hàng thứ 6 của tam giác Pascal (vì $(a+b)^5$ tương ứng với hàng thứ 6):

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

Bước 2: Viết khai triển dựa vào các hệ số từ hàng thứ 6:
$$
(a+b)^5 = 1 \cdot a^5 \cdot b^0 + 5 \cdot a^4 \cdot b^1 + 10 \cdot a^3 \cdot b^2 + 10 \cdot a^2 \cdot b^3 + 5 \cdot a^1 \cdot b^4 + 1 \cdot a^0 \cdot b^5
$$

Bước 3: Tính toán và gom lại:
$$
(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5
$$

b) Khai triển $(3-2x)^5$

Bước 1: Xác định hàng thứ 6 của tam giác Pascal (như ở trên).

Bước 2: Viết khai triển dựa vào các hệ số từ hàng thứ 6:
$$
(3-2x)^5 = 1 \cdot 3^5 \cdot (-2x)^0 + 5 \cdot 3^4 \cdot (-2x)^1 + 10 \cdot 3^3 \cdot (-2x)^2 + 10 \cdot 3^2 \cdot (-2x)^3 + 5 \cdot 3^1 \cdot (-2x)^4 + 1 \cdot 3^0 \cdot (-2x)^5
$$

Bước 3: Tính toán và gom lại:
$$
(3-2x)^5 = 3^5 - 5 \cdot 3^4 \cdot 2x + 10 \cdot 3^3 \cdot 4x^2 - 10 \cdot 3^2 \cdot 8x^3 + 5 \cdot 3 \cdot 16x^4 - 32x^5
$$
$$
= 243 - 5 \cdot 81 \cdot 2x + 10 \cdot 27 \cdot 4x^2 - 10 \cdot 9 \cdot 8x^3 + 5 \cdot 3 \cdot 16x^4 - 32x^5
$$
$$
= 243 - 810x + 1080x^2 - 720x^3 + 240x^4 - 32x^5
$$

Đáp số:
a) $(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$
b) $(3-2x)^5 = 243 - 810x + 1080x^2 - 720x^3 + 240x^4 - 32x^5$

Ví dụ 2:
Để viết khai triển của các nhị thức $(a+b)^6$ và $(3x+2)^6$, ta sẽ sử dụng tam giác Pascal để tìm các hệ số của các hạng tử trong khai triển.

a) Khai triển $(a+b)^6$

Bước 1: Xác định hàng thứ 6 trong tam giác Pascal:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

Hàng thứ 6 là: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

Bước 2: Viết khai triển dựa vào các hệ số từ hàng thứ 6:
$$
(a + b)^6 = 1 \cdot a^6 \cdot b^0 + 6 \cdot a^5 \cdot b^1 + 15 \cdot a^4 \cdot b^2 + 20 \cdot a^3 \cdot b^3 + 15 \cdot a^2 \cdot b^4 + 6 \cdot a^1 \cdot b^5 + 1 \cdot a^0 \cdot b^6
$$

Bước 3: Tính toán và ghi kết quả:
$$
(a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6
$$

b) Khai triển $(3x+2)^6$

Bước 1: Xác định hàng thứ 6 trong tam giác Pascal (như đã tính ở trên).

Bước 2: Viết khai triển dựa vào các hệ số từ hàng thứ 6:
$$
(3x + 2)^6 = 1 \cdot (3x)^6 \cdot 2^0 + 6 \cdot (3x)^5 \cdot 2^1 + 15 \cdot (3x)^4 \cdot 2^2 + 20 \cdot (3x)^3 \cdot 2^3 + 15 \cdot (3x)^2 \cdot 2^4 + 6 \cdot (3x)^1 \cdot 2^5 + 1 \cdot (3x)^0 \cdot 2^6
$$

Bước 3: Tính toán và ghi kết quả:
$$
(3x + 2)^6 = 1 \cdot 729x^6 \cdot 1 + 6 \cdot 243x^5 \cdot 2 + 15 \cdot 81x^4 \cdot 4 + 20 \cdot 27x^3 \cdot 8 + 15 \cdot 9x^2 \cdot 16 + 6 \cdot 3x \cdot 32 + 1 \cdot 1 \cdot 64
$$
$$
= 729x^6 + 2916x^5 + 4860x^4 + 4320x^3 + 2160x^2 + 576x + 64
$$

Đáp số:
a) $(a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$
b) $(3x + 2)^6 = 729x^6 + 2916x^5 + 4860x^4 + 4320x^3 + 2160x^2 + 576x + 64$

Ví dụ 3:
Để viết khai triển của các nhị thức $(a+b)^7$ và $(2x-1)^7$, ta sẽ sử dụng tam giác Pascal để tìm các hệ số của các hạng tử trong khai triển.

a) Khai triển $(a+b)^7$

Bước 1: Xác định hàng thứ 7 trong tam giác Pascal:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1

Hàng thứ 7 là: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1

Bước 2: Viết khai triển dựa vào các hệ số từ hàng thứ 7:
$$
(a + b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7
$$

b) Khai triển $(2x - 1)^7$

Bước 1: Xác định hàng thứ 7 trong tam giác Pascal (như đã tính ở trên).

Bước 2: Thay $a = 2x$ và $b = -1$ vào khai triển:
$$
(2x - 1)^7 = (2x)^7 + 7(2x)^6(-1) + 21(2x)^5(-1)^2 + 35(2x)^4(-1)^3 + 35(2x)^3(-1)^4 + 21(2x)^2(-1)^5 + 7(2x)(-1)^6 + (-1)^7
$$

Bước 3: Tính toán các hạng tử:
$$
(2x - 1)^7 = 128x^7 - 7 \cdot 64x^6 + 21 \cdot 32x^5 - 35 \cdot 16x^4 + 35 \cdot 8x^3 - 21 \cdot 4x^2 + 7 \cdot 2x - 1
$$
$$
= 128x^7 - 448x^6 + 672x^5 - 560x^4 + 280x^3 - 84x^2 + 14x - 1
$$

Đáp số:
a) $(a + b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$
b) $(2x - 1)^7 = 128x^7 - 448x^6 + 672x^5 - 560x^4 + 280x^3 - 84x^2 + 14x - 1$