...........

Câu 1. Để tính độ dài đoạn thẳng AB trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \): \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Áp dụng vào bài toán, ta có: - \( A(1, -3, 1) \) - \( B(3, 0, -2) \) Ta thay các giá trị vào công thức: \[ AB = \sqrt{(3 - 1)^2 + (0 - (-3))^2 + (-2 - 1)^2} \] \[ AB = \sqrt{(3 - 1)^2 + (0 + 3)^2 + (-2 - 1)^2} \] \[ AB = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-3)^2} \] \[ AB = \sqrt{4 + 9 + 9} \] \[ AB = \sqrt{22} \] Vậy độ dài đoạn thẳng AB là \( \sqrt{22} \). Đáp án đúng là: B. \( \sqrt{22} \) Câu 2. Giá trị đại diện của nhóm này là trung điểm của khoảng từ 70 đến 80. Ta tính như sau: \(\frac{70 + 80}{2} = \frac{150}{2} = 75\) Vậy giá trị đại diện của nhóm này là 75. Đáp án đúng là: D. 75. Câu 3. Để xác định đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho và so sánh với các đặc điểm của đồ thị. 1. Kiểm tra các hàm số: - A. \( y = -x^3 - 4 \) - B. \( y = x^3 - 4 \) - C. \( y = -x^3 - 3x - 4 \) - D. \( y = -x^3 + 3x^2 - 4 \) 2. Phân tích đồ thị: - Đồ thị có dạng uốn lượn và có điểm cực đại và cực tiểu. - Đồ thị cắt trục y tại điểm (0, -4). 3. Kiểm tra các hàm số tại điểm (0, -4): - A. \( y = -0^3 - 4 = -4 \) (đúng) - B. \( y = 0^3 - 4 = -4 \) (đúng) - C. \( y = -0^3 - 3 \cdot 0 - 4 = -4 \) (đúng) - D. \( y = -0^3 + 3 \cdot 0^2 - 4 = -4 \) (đúng) 4. Kiểm tra tính chất uốn lượn và cực đại/cực tiểu: - A. \( y = -x^3 - 4 \): Đạo hàm \( y' = -3x^2 \). Đạo hàm này luôn âm hoặc bằng 0, không có cực đại/cực tiểu. - B. \( y = x^3 - 4 \): Đạo hàm \( y' = 3x^2 \). Đạo hàm này luôn dương hoặc bằng 0, không có cực đại/cực tiểu. - C. \( y = -x^3 - 3x - 4 \): Đạo hàm \( y' = -3x^2 - 3 \). Đạo hàm này luôn âm, không có cực đại/cực tiểu. - D. \( y = -x^3 + 3x^2 - 4 \): Đạo hàm \( y' = -3x^2 + 6x \). Đạo hàm này có thể dương, âm hoặc bằng 0, có khả năng có cực đại/cực tiểu. 5. Kiểm tra điểm cực đại/cực tiểu của hàm số D: - \( y' = -3x^2 + 6x = 0 \) - \( -3x(x - 2) = 0 \) - \( x = 0 \) hoặc \( x = 2 \) - Kiểm tra dấu của đạo hàm: - \( y'' = -6x + 6 \) - Tại \( x = 0 \): \( y''(0) = 6 > 0 \) (điểm cực tiểu) - Tại \( x = 2 \): \( y''(2) = -6 < 0 \) (điểm cực đại) Do đó, hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 - 4 \) có các đặc điểm phù hợp với đồ thị trong hình. Đáp án: D. \( y = -x^3 + 3x^2 - 4 \) Câu 4. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow u - \overrightarrow v$, ta thực hiện phép trừ từng thành phần tương ứng của hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow u$ là $(1; 3; -2)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow v$ là $(2; 1; -1)$. Ta thực hiện phép trừ từng thành phần: - Thành phần thứ nhất: $1 - 2 = -1$ - Thành phần thứ hai: $3 - 1 = 2$ - Thành phần thứ ba: $-2 - (-1) = -2 + 1 = -1$ Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow u - \overrightarrow v$ là $(-1; 2; -1)$. Do đó, đáp án đúng là: C. $(-1; 2; -1)$. Câu 5. Phương sai là bình phương của độ lệch chuẩn. Do đó, nếu độ lệch chuẩn bằng 3, phương sai sẽ là: \[ s^2 = 3^2 = 9 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là 9. Đáp án đúng là: B. \( s^2 = 9 \). Câu 6. Để tìm điểm cực đại của hàm số $y=f(x)$, ta cần dựa vào bảng biến thiên của hàm số. Bảng biến thiên cho thấy: - Khi $x$ tăng từ $-\infty$ đến $-3$, hàm số $y=f(x)$ giảm. - Khi $x$ tăng từ $-3$ đến $-1$, hàm số $y=f(x)$ tăng. - Khi $x$ tăng từ $-1$ đến $0$, hàm số $y=f(x)$ giảm. - Khi $x$ tăng từ $0$ đến $2$, hàm số $y=f(x)$ tăng. - Khi $x$ tăng từ $2$ đến $+\infty$, hàm số $y=f(x)$ giảm. Như vậy, ta thấy rằng: - Tại $x = -3$, hàm số chuyển từ giảm sang tăng, do đó $x = -3$ là điểm cực tiểu. - Tại $x = -1$, hàm số chuyển từ tăng sang giảm, do đó $x = -1$ là điểm cực đại. - Tại $x = 0$, hàm số chuyển từ giảm sang tăng, do đó $x = 0$ là điểm cực tiểu. - Tại $x = 2$, hàm số chuyển từ tăng sang giảm, do đó $x = 2$ là điểm cực đại. Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, chỉ có điểm $x = -1$ là điểm cực đại. Vậy đáp án đúng là: A. $x = -1$. Câu 7. Để tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2024x+2025}{x-5}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định dạng của hàm số Hàm số đã cho là một phân thức đại số có dạng $\frac{P(x)}{Q(x)}$, trong đó $P(x) = 2024x + 2025$ và $Q(x) = x - 5$. Bước 2: Tìm giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng Ta tính giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến dương vô cùng và âm vô cùng: \[ \lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2024x + 2025}{x - 5} \] Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho $x$ \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2024x + 2025}{x - 5} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2024 + \frac{2025}{x}}{1 - \frac{5}{x}} \] Bước 4: Tính giới hạn của các phân số nhỏ hơn Khi $x$ tiến đến dương vô cùng hoặc âm vô cùng, các phân số $\frac{2025}{x}$ và $\frac{5}{x}$ sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2024 + \frac{2025}{x}}{1 - \frac{5}{x}} = \frac{2024 + 0}{1 - 0} = 2024 \] Vậy đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2024x+2025}{x-5}$ là $y = 2024$. Đáp án đúng là: B. $y = 2024$. Câu 8. Để tìm trung điểm của đoạn thẳng AB trong không gian Oxyz, ta sử dụng công thức tính trung điểm của hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \): \[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) \] Áp dụng vào bài toán này, ta có: - \( A(2, -4, 3) \) - \( B(2, 2, 7) \) Ta tính từng tọa độ của trung điểm \( M \): 1. Tọa độ x của trung điểm: \[ \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] 2. Tọa độ y của trung điểm: \[ \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] 3. Tọa độ z của trung điểm: \[ \frac{z_1 + z_2}{2} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] Vậy tọa độ của trung điểm \( M \) là \( (2, -1, 5) \). Do đó, đáp án đúng là: B. \( (2, -1, 5) \) Câu 9. Trong không gian Oxyz, vectơ đơn vị trên trục Oy là vectơ có độ dài bằng 1 và hướng theo chiều dương của trục Oy. - Vectơ đơn vị trên trục Ox là $\overrightarrow{i} = (1; 0; 0)$. - Vectơ đơn vị trên trục Oy là $\overrightarrow{j} = (0; 1; 0)$. - Vectơ đơn vị trên trục Oz là $\overrightarrow{k} = (0; 0; 1)$. Do đó, vectơ đơn vị trên trục Oy là $\overrightarrow{j} = (0; 1; 0)$. Đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{j} = (0; 1; 0)$. Câu 10. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta thực hiện phép trừ tọa độ của điểm B từ tọa độ của điểm A. Tọa độ của điểm A là $(1; 1; -2)$. Tọa độ của điểm B là $(2; 2; 1)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ được tính như sau: \[ \overrightarrow{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z) \] \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 1, 2 - 1, 1 - (-2)) \] \[ \overrightarrow{AB} = (1, 1, 3) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $(1, 1, 3)$.