MN giúp vs Tính $\int^2_0(2x+3)^2dx$

Question

Accepted Answer

Để tính $\int^2_0(2x+3)^2dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định phương pháp tính nguyên hàm.
- Ta nhận thấy rằng $(2x + 3)^2$ là một đa thức bậc hai. Để tính nguyên hàm của nó, ta có thể mở rộng biểu thức và sau đó tính nguyên hàm từng phần.

Bước 2: Mở rộng biểu thức $(2x + 3)^2$.
$$
(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9
$$

Bước 3: Tính nguyên hàm từng phần của biểu thức mở rộng.
$$
\int (4x^2 + 12x + 9) \, dx = \int 4x^2 \, dx + \int 12x \, dx + \int 9 \, dx
$$
$$
= 4 \int x^2 \, dx + 12 \int x \, dx + 9 \int 1 \, dx
$$
$$
= 4 \cdot \frac{x^3}{3} + 12 \cdot \frac{x^2}{2} + 9x + C
$$
$$
= \frac{4x^3}{3} + 6x^2 + 9x + C
$$

Bước 4: Áp dụng cận trên và cận dưới vào biểu thức nguyên hàm đã tìm được.
$$
\left[ \frac{4x^3}{3} + 6x^2 + 9x \right]^2_0
$$
$$
= \left( \frac{4(2)^3}{3} + 6(2)^2 + 9(2) \right) - \left( \frac{4(0)^3}{3} + 6(0)^2 + 9(0) \right)
$$
$$
= \left( \frac{4 \cdot 8}{3} + 6 \cdot 4 + 9 \cdot 2 \right) - 0
$$
$$
= \left( \frac{32}{3} + 24 + 18 \right)
$$
$$
= \frac{32}{3} + 42
$$
$$
= \frac{32}{3} + \frac{126}{3}
$$
$$
= \frac{158}{3}
$$

Vậy, $\int^2_0(2x+3)^2dx = \frac{158}{3}$.