giúo em vs an

Câu 20. Để tính $\int x^2 dx$, ta áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản. Công thức nguyên hàm của $x^n$ là: \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] Trong đó, $n$ là số thực khác -1 và $C$ là hằng số nguyên hàm. Áp dụng công thức này vào bài toán: \[ \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. $\frac{1}{3}x^3 + C$ Đáp số: B. $\frac{1}{3}x^3 + C$ Câu 21. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + 1 \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( 3x^2 \). \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( 1 \). \[ \int 1 \, dx = x \] Bước 3: Cộng các kết quả trên lại và thêm hằng số \( C \). \[ \int (3x^2 + 1) \, dx = x^3 + x + C \] Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + 1 \) là \( x^3 + x + C \). Do đó, đáp án đúng là: D. \( x^3 + x + C \). Câu 22. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^3 + x \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của mỗi hạng tử trong tổng. Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( x^3 \). \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C_1 \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của \( x \). \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_2 \] Bước 3: Cộng các kết quả nguyên hàm lại với nhau. \[ \int (x^3 + x) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân tổng quát, bao gồm cả \( C_1 \) và \( C_2 \). Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^3 + x \) là: \[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. $\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + C$ Đáp án: A. $\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + C$ Câu 23. Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^4 + x^2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần trong tổng. - Nguyên hàm của $x^4$ là $\frac{x^5}{5} + C_1$. - Nguyên hàm của $x^2$ là $\frac{x^3}{3} + C_2$. Bước 2: Cộng các nguyên hàm lại và gộp hằng số tích phân. Do đó, nguyên hàm của $f(x)$ là: \[ F(x) = \frac{x^5}{5} + \frac{x^3}{3} + C \] Trong đó, $C$ là hằng số tích phân. Vậy đáp án đúng là: A. $\frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 + C$ Đáp án: A. $\frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 + C$ Câu 24. Để xác định hàm số nào không là nguyên hàm của hàm số \( y = x^{2022} \), ta cần kiểm tra đạo hàm của mỗi hàm số đã cho xem có bằng \( x^{2022} \) hay không. A. \( \frac{x^{2023}}{2023} + 1 \) Ta tính đạo hàm của \( \frac{x^{2023}}{2023} + 1 \): \[ \left( \frac{x^{2023}}{2023} + 1 \right)' = \frac{2023x^{2022}}{2023} + 0 = x^{2022}. \] B. \( \frac{x^{2023}}{2023} \) Ta tính đạo hàm của \( \frac{x^{2023}}{2023} \): \[ \left( \frac{x^{2023}}{2023} \right)' = \frac{2023x^{2022}}{2023} = x^{2022}. \] C. \( y = 2022x^{2021} \) Ta tính đạo hàm của \( 2022x^{2021} \): \[ (2022x^{2021})' = 2022 \cdot 2021x^{2020} = 4088442x^{2020}. \] Đạo hàm này không bằng \( x^{2022} \). D. \( \frac{x^{2023}}{2023} - 1 \) Ta tính đạo hàm của \( \frac{x^{2023}}{2023} - 1 \): \[ \left( \frac{x^{2023}}{2023} - 1 \right)' = \frac{2023x^{2022}}{2023} - 0 = x^{2022}. \] Như vậy, hàm số \( y = 2022x^{2021} \) không là nguyên hàm của hàm số \( y = x^{2022} \). Đáp án đúng là: C. \( y = 2022x^{2021} \). Câu 25. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + x - 2024 \), ta sẽ tính nguyên hàm từng hạng tử của nó. 1. Nguyên hàm của \( \frac{1}{3}x^3 \): \[ \int \frac{1}{3}x^3 \, dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{1}{12}x^4 \] 2. Nguyên hàm của \( -2x^2 \): \[ \int -2x^2 \, dx = -2 \cdot \frac{x^3}{3} = -\frac{2}{3}x^3 \] 3. Nguyên hàm của \( x \): \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \] 4. Nguyên hàm của hằng số \( -2024 \): \[ \int -2024 \, dx = -2024x \] Gộp tất cả các nguyên hàm lại, ta có: \[ \int \left( \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + x - 2024 \right) \, dx = \frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{x^2}{2} - 2024x + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + x - 2024 \) là: \[ \frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{x^2}{2} - 2024x + C \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( \frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{x^2}{2} - 2024x + C \) Câu 26. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = (x+1)(x+2)(x+3) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân các đa thức để đơn giản hóa biểu thức: \[ f(x) = (x+1)(x+2)(x+3) \] Nhân từng cặp: \[ (x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2 \] Tiếp tục nhân với \( (x+3) \): \[ (x^2 + 3x + 2)(x+3) = x^3 + 3x^2 + 3x^2 + 9x + 2x + 6 = x^3 + 6x^2 + 11x + 6 \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của biểu thức đã đơn giản hóa: \[ F(x) = \int (x^3 + 6x^2 + 11x + 6) \, dx \] Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần: \[ F(x) = \int x^3 \, dx + \int 6x^2 \, dx + \int 11x \, dx + \int 6 \, dx \] Tính từng nguyên hàm riêng lẻ: \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \] \[ \int 6x^2 \, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3 \] \[ \int 11x \, dx = 11 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{11}{2}x^2 \] \[ \int 6 \, dx = 6x \] Gộp lại ta có: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x^3 + \frac{11}{2}x^2 + 6x + C \] Vậy đáp án đúng là: C. \( F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x^3 + \frac{11}{2}x^2 + 6x + C \). Câu 27. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = (5x + 3)^5 \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nguyên hàm của hàm hợp. Bước 1: Xác định u và u'. - Đặt \( u = 5x + 3 \). - Khi đó, \( u' = 5 \). Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm hợp. - Nguyên hàm của \( (u)^n \) là \( \frac{u^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{1}{u'} + C \). Áp dụng vào bài toán: - \( n = 5 \), vậy \( n + 1 = 6 \). - Nguyên hàm của \( (5x + 3)^5 \) là \( \frac{(5x + 3)^6}{6} \cdot \frac{1}{5} + C \). Bước 3: Tính toán và viết kết quả cuối cùng. - \( \frac{(5x + 3)^6}{6} \cdot \frac{1}{5} = \frac{(5x + 3)^6}{30} + C \). Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = (5x + 3)^5 \) là \( \frac{(5x + 3)^6}{30} + C \). Đáp án đúng là: C. \( \frac{(5x + 3)^6}{30} + C \). Câu 28. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tách hàm số thành hai phần riêng biệt: \[ f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi phần riêng biệt: - Nguyên hàm của \( x^2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 \] - Nguyên hàm của \( \frac{2}{x^2} \): \[ \int \frac{2}{x^2} \, dx = 2 \int x^{-2} \, dx = 2 \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) + C_2 = -\frac{2}{x} + C_2 \] Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm lại: \[ \int f(x) \, dx = \int x^2 \, dx + \int \frac{2}{x^2} \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 - \frac{2}{x} + C_2 \] Bước 4: Gộp hằng số \( C_1 \) và \( C_2 \) thành một hằng số tổng quát \( C \): \[ \int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} \) là: \[ \int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. $\int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C$.