giúp mk 7c này vs ạ

Để giải quyết các bài toán tích phân trên, chúng ta sẽ áp dụng các phương pháp tích phân cơ bản và thay đổi biến số khi cần thiết. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài toán: Bài 1: $I_1 = \int^2_1 \left(x^2 - \frac{1}{x} + \sqrt{x} + 2^x\right) dx$ Ta tách tích phân thành các phần riêng lẻ: \[ I_1 = \int^2_1 x^2 \, dx - \int^2_1 \frac{1}{x} \, dx + \int^2_1 \sqrt{x} \, dx + \int^2_1 2^x \, dx \] Tính từng phần: \[ \int^2_1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]^2_1 = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \] \[ \int^2_1 \frac{1}{x} \, dx = \left[ \ln|x| \right]^2_1 = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) \] \[ \int^2_1 \sqrt{x} \, dx = \int^2_1 x^{1/2} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]^2_1 = \frac{2}{3} \left( 2^{3/2} - 1^{3/2} \right) = \frac{2}{3} (2\sqrt{2} - 1) \] \[ \int^2_1 2^x \, dx = \left[ \frac{2^x}{\ln(2)} \right]^2_1 = \frac{2^2}{\ln(2)} - \frac{2^1}{\ln(2)} = \frac{4}{\ln(2)} - \frac{2}{\ln(2)} = \frac{2}{\ln(2)} \] Gộp lại: \[ I_1 = \frac{7}{3} - \ln(2) + \frac{2}{3}(2\sqrt{2} - 1) + \frac{2}{\ln(2)} \] Bài 2: $I_2 = \int^1_0 \frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 6}{x + 7} \, dx$ Thực hiện phép chia đa thức: \[ \frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 6}{x + 7} = x^2 - 4x + 31 - \frac{211}{x + 7} \] Do đó: \[ I_2 = \int^1_0 \left( x^2 - 4x + 31 - \frac{211}{x + 7} \right) dx \] Tính từng phần: \[ \int^1_0 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]^1_0 = \frac{1}{3} \] \[ \int^1_0 (-4x) \, dx = \left[ -2x^2 \right]^1_0 = -2 \] \[ \int^1_0 31 \, dx = \left[ 31x \right]^1_0 = 31 \] \[ \int^1_0 \frac{-211}{x + 7} \, dx = -211 \left[ \ln|x + 7| \right]^1_0 = -211 (\ln(8) - \ln(7)) = -211 \ln\left(\frac{8}{7}\right) \] Gộp lại: \[ I_2 = \frac{1}{3} - 2 + 31 - 211 \ln\left(\frac{8}{7}\right) = \frac{88}{3} - 211 \ln\left(\frac{8}{7}\right) \] Bài 3: $I_3 = \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^5 x \cos x \, dx$ Thay đổi biến số: $u = \sin x$, $du = \cos x \, dx$ \[ I_3 = \int^1_0 u^5 \, du = \left[ \frac{u^6}{6} \right]^1_0 = \frac{1}{6} \] Bài 4: $I_4 = \int^1_0 (2x + 1)(x^2 + x + 3)^{20} \, dx$ Thay đổi biến số: $u = x^2 + x + 3$, $du = (2x + 1) \, dx$ \[ I_4 = \int^5_3 u^{20} \, du = \left[ \frac{u^{21}}{21} \right]^5_3 = \frac{5^{21} - 3^{21}}{21} \] Bài 5: $I_5 = \int^1_0 \sqrt{x + 2} \, dx$ Thay đổi biến số: $u = x + 2$, $du = dx$ \[ I_5 = \int^3_2 \sqrt{u} \, du = \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]^3_2 = \frac{2}{3} (3^{3/2} - 2^{3/2}) = \frac{2}{3} (3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}) \] Bài 6: $I_6 = \int^3_{0.1} x^3 \sqrt{x^2 + 1} \, dx$ Thay đổi biến số: $u = x^2 + 1$, $du = 2x \, dx$ \[ I_6 = \frac{1}{2} \int^{10}_{1.01} (u - 1) \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2} \int^{10}_{1.01} (u^{3/2} - u^{1/2}) \, du \] \[ = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{5} u^{5/2} - \frac{2}{3} u^{3/2} \right]^{10}_{1.01} = \frac{1}{5} (10^{5/2} - 1.01^{5/2}) - \frac{1}{3} (10^{3/2} - 1.01^{3/2}) \] Bài 7: $I_7 = \int^1_0 \frac{1}{(x + 1)^2} \left( \frac{x - 3}{x + 1} \right)^{20} \, dx$ Thay đổi biến số: $u = \frac{x - 3}{x + 1}$, $du = \frac{4}{(x + 1)^2} \, dx$ \[ I_7 = \frac{1}{4} \int^{-1}_{-2} u^{20} \, du = \frac{1}{4} \left[ \frac{u^{21}}{21} \right]^{-1}_{-2} = \frac{1}{4} \left( \frac{(-1)^{21}}{21} - \frac{(-2)^{21}}{21} \right) = \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{21} + \frac{2^{21}}{21} \right) = \frac{2^{21} - 1}{84} \] Đáp số cuối cùng: \[ I_1 = \frac{7}{3} - \ln(2) + \frac{2}{3}(2\sqrt{2} - 1) + \frac{2}{\ln(2)} \] \[ I_2 = \frac{88}{3} - 211 \ln\left(\frac{8}{7}\right) \] \[ I_3 = \frac{1}{6} \] \[ I_4 = \frac{5^{21} - 3^{21}}{21} \] \[ I_5 = \frac{2}{3} (3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}) \] \[ I_6 = \frac{1}{5} (10^{5/2} - 1.01^{5/2}) - \frac{1}{3} (10^{3/2} - 1.01^{3/2}) \] \[ I_7 = \frac{2^{21} - 1}{84} \]