Giúp đi huhu

Câu 9. Để tính tích phân \( I = \int_{-1}^{0} (2x + 3)^2 \, dx \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm số cần tích phân: \[ f(x) = (2x + 3)^2 \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \): \[ F(x) = \int (2x + 3)^2 \, dx \] Bước 3: Áp dụng phương pháp đổi biến để tính nguyên hàm: Gọi \( u = 2x + 3 \), thì \( du = 2 \, dx \) hay \( dx = \frac{1}{2} \, du \). Do đó: \[ F(x) = \int u^2 \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int u^2 \, du \] Bước 4: Tính nguyên hàm của \( u^2 \): \[ \int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} \] Vậy: \[ F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^3}{3} = \frac{(2x + 3)^3}{6} \] Bước 5: Áp dụng công thức Newton-Leibniz để tính tích phân từ \(-1\) đến \(0\): \[ I = \left[ \frac{(2x + 3)^3}{6} \right]_{-1}^{0} \] Bước 6: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức: \[ I = \frac{(2 \cdot 0 + 3)^3}{6} - \frac{(2 \cdot (-1) + 3)^3}{6} \] \[ I = \frac{3^3}{6} - \frac{1^3}{6} \] \[ I = \frac{27}{6} - \frac{1}{6} \] \[ I = \frac{26}{6} \] \[ I = \frac{13}{3} \] Vậy đáp án đúng là: A. \( I = \frac{13}{3} \) Đáp số: A. \( I = \frac{13}{3} \) Câu 10. Để tính tích phân $\int^{1}_0{(e^{3x}+5x^4)dx}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tích phân từng phần của biểu thức trong dấu tích phân. $\int^{1}_0{(e^{3x}+5x^4)dx} = \int^{1}_0{e^{3x}dx} + \int^{1}_0{5x^4dx}$ Bước 2: Tính từng tích phân riêng lẻ. - Tính $\int^{1}_0{e^{3x}dx}$: Ta biết rằng $\int{e^{ax}dx} = \frac{1}{a}e^{ax} + C$. Do đó, $\int^{1}_0{e^{3x}dx} = \left[\frac{1}{3}e^{3x}\right]^{1}_0 = \frac{1}{3}(e^{3 \cdot 1} - e^{3 \cdot 0}) = \frac{1}{3}(e^3 - 1)$ - Tính $\int^{1}_0{5x^4dx}$: Ta biết rằng $\int{x^n dx} = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Do đó, $\int^{1}_0{5x^4dx} = 5 \left[\frac{x^5}{5}\right]^{1}_0 = \left[x^5\right]^{1}_0 = 1^5 - 0^5 = 1$ Bước 3: Cộng kết quả của hai tích phân lại với nhau. $\int^{1}_0{(e^{3x}+5x^4)dx} = \frac{1}{3}(e^3 - 1) + 1 = \frac{1}{3}e^3 - \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3}e^3 + \frac{2}{3}$ Vậy tích phân $\int^{1}_0{(e^{3x}+5x^4)dx}$ bằng $\frac{1}{3}e^3 + \frac{2}{3}$. Do đó, đáp án đúng là C. $\frac{e^3+2}{3}$. Câu 11. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của nguyên hàm và tích phân. Trước tiên, ta biết rằng $F(x) = x^2$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Điều này có nghĩa là: \[ f(x) = F'(x) = 2x \] Bây giờ, ta cần tính tích phân: \[ \int^2_1 [2 + f(x)] \, dx \] Thay $f(x) = 2x$ vào biểu thức trên, ta có: \[ \int^2_1 [2 + 2x] \, dx \] Ta tách tích phân thành hai phần: \[ \int^2_1 2 \, dx + \int^2_1 2x \, dx \] Tính từng phần riêng lẻ: 1. Tích phân $\int^2_1 2 \, dx$: \[ \int^2_1 2 \, dx = 2 \int^2_1 1 \, dx = 2[x]^2_1 = 2(2 - 1) = 2 \] 2. Tích phân $\int^2_1 2x \, dx$: \[ \int^2_1 2x \, dx = 2 \int^2_1 x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^2_1 = 2 \left( \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = 2 \left( 2 - \frac{1}{2} \right) = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3 \] Cộng lại hai kết quả: \[ \int^2_1 [2 + 2x] \, dx = 2 + 3 = 5 \] Vậy giá trị của $\int^2_1 [2 + f(x)] \, dx$ là 5. Đáp án đúng là: B. 5. Câu 12. Để tính $\int^3_1 f(x)dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân: \[ \int^3_1 f(x)dx = \int^3_0 f(x)dx - \int^1_0 f(x)dx \] Ta đã biết: \[ \int^1_0 f(x)dx = -1 \] \[ \int^3_0 f(x)dx = 5 \] Thay các giá trị này vào công thức trên: \[ \int^3_1 f(x)dx = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6 \] Vậy đáp án đúng là B. 6. Câu 13. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính tích phân của hàm số \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) từ 0 đến \( m \) và so sánh kết quả với 6. Bước 1: Tính tích phân của hàm số \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \). \[ \int_{0}^{m} (3x^2 - 2x + 1) \, dx \] Bước 2: Tính tích phân từng phần. \[ \int_{0}^{m} 3x^2 \, dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{m} = [x^3]_{0}^{m} = m^3 \] \[ \int_{0}^{m} -2x \, dx = -2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{m} = [-x^2]_{0}^{m} = -m^2 \] \[ \int_{0}^{m} 1 \, dx = [x]_{0}^{m} = m \] Bước 3: Cộng các kết quả lại. \[ \int_{0}^{m} (3x^2 - 2x + 1) \, dx = m^3 - m^2 + m \] Bước 4: Đặt tích phân bằng 6 và giải phương trình. \[ m^3 - m^2 + m = 6 \] Bước 5: Kiểm tra các khoảng đã cho để tìm giá trị của \( m \). A. \( (-1; 2) \) B. \( (-\infty; 0) \) C. \( (0; 4) \) D. \( (-3; 1) \) Ta thử các giá trị trong các khoảng này: - \( m = 1 \): \[ 1^3 - 1^2 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 \neq 6 \] - \( m = 2 \): \[ 2^3 - 2^2 + 2 = 8 - 4 + 2 = 6 \] Vậy giá trị của \( m \) nằm trong khoảng \( (0; 4) \). Đáp án đúng là: C. \( (0; 4) \). Câu 14. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tích phân \( I \). \[ I = \int_{0}^{1} (4x - 2m^2) \, dx \] Tích phân từng phần: \[ I = \left[ 2x^2 - 2m^2x \right]_{0}^{1} \] Thay cận vào: \[ I = \left( 2(1)^2 - 2m^2(1) \right) - \left( 2(0)^2 - 2m^2(0) \right) \] \[ I = 2 - 2m^2 \] Bước 2: Xác định điều kiện \( I + 6 > 0 \). \[ 2 - 2m^2 + 6 > 0 \] \[ 8 - 2m^2 > 0 \] \[ 4 - m^2 > 0 \] \[ m^2 < 4 \] Bước 3: Tìm các giá trị nguyên của \( m \) thỏa mãn \( m^2 < 4 \). Các giá trị nguyên của \( m \) là: \( m = -1, 0, 1 \). Vậy có 3 giá trị nguyên của \( m \) thỏa mãn điều kiện \( I + 6 > 0 \). Đáp án đúng là: D. 3. Câu 15. Để tính tích phân \( I = \int_{-1}^{a} |x| \, dx \) với \( a \) là số thực dương, ta cần chia tích phân thành hai phần dựa trên dấu của \( |x| \). 1. Xét trên khoảng \([-1, 0]\): - Trên đoạn này, \( |x| = -x \). - Tích phân từ \(-1\) đến \(0\) là: \[ \int_{-1}^{0} (-x) \, dx = -\int_{-1}^{0} x \, dx = -\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = -\left( \frac{0^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} \right) = -\left( 0 - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}. \] 2. Xét trên khoảng \([0, a]\): - Trên đoạn này, \( |x| = x \). - Tích phân từ \(0\) đến \(a\) là: \[ \int_{0}^{a} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{a} = \frac{a^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{a^2}{2}. \] 3. Tổng các tích phân: \[ I = \int_{-1}^{a} |x| \, dx = \int_{-1}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{a} x \, dx = \frac{1}{2} + \frac{a^2}{2} = \frac{a^2 + 1}{2}. \] Vậy đáp án đúng là: A. \( I = \frac{a^2 + 1}{2} \). Câu 16. Để tính $I = \int^3_{-1} f(|u|) \, du$, ta chia tích phân thành hai phần dựa vào tính chất của hàm giá trị tuyệt đối: \[ I = \int^3_{-1} f(|u|) \, du = \int^0_{-1} f(|u|) \, du + \int^3_0 f(|u|) \, du \] Trong khoảng từ $-1$ đến $0$, giá trị tuyệt đối của $u$ là $-u$. Do đó: \[ \int^0_{-1} f(|u|) \, du = \int^0_{-1} f(-u) \, du \] Thực hiện phép đổi biến $t = -u$, tức là $dt = -du$. Khi $u = -1$, thì $t = 1$; khi $u = 0$, thì $t = 0$. Vậy: \[ \int^0_{-1} f(-u) \, du = \int^1_0 f(t) \, (-dt) = \int^1_0 f(t) \, dt \] Biết rằng $\int^1_0 f(x) \, dx = 4$, nên: \[ \int^0_{-1} f(|u|) \, du = 4 \] Tiếp theo, trong khoảng từ $0$ đến $3$, giá trị tuyệt đối của $u$ là $u$. Do đó: \[ \int^3_0 f(|u|) \, du = \int^3_0 f(u) \, du \] Biết rằng $\int^3_0 f(x) \, dx = 6$, nên: \[ \int^3_0 f(|u|) \, du = 6 \] Tổng hợp lại, ta có: \[ I = \int^0_{-1} f(|u|) \, du + \int^3_0 f(|u|) \, du = 4 + 6 = 10 \] Vậy đáp án đúng là: C. 10. Câu 17. Để tính tích phân \( J = \int_{-1}^{2} f(x) \, dx \), ta chia đoạn tích phân thành hai phần dựa trên định nghĩa của hàm \( f(x) \). Hàm \( f(x) \) được định nghĩa như sau: \[ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{khi } x \geq 1 \\ 2x - 1 & \text{khi } x < 1 \end{cases} \] Do đó, ta có thể viết tích phân \( J \) dưới dạng tổng của hai tích phân: \[ J = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx \] Bây giờ, ta tính từng tích phân này riêng lẻ. 1. Tính \( \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \): \[ \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} (2x - 1) \, dx \] \[ = \left[ x^2 - x \right]_{-1}^{1} \] \[ = \left( 1^2 - 1 \right) - \left( (-1)^2 - (-1) \right) \] \[ = (1 - 1) - (1 + 1) \] \[ = 0 - 2 \] \[ = -2 \] 2. Tính \( \int_{1}^{2} f(x) \, dx \): \[ \int_{1}^{2} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} 1 \, dx \] \[ = \left[ x \right]_{1}^{2} \] \[ = 2 - 1 \] \[ = 1 \] Cuối cùng, cộng hai kết quả lại: \[ J = -2 + 1 = -1 \] Vậy đáp án đúng là: A. -1 Câu 18. Để tính quãng đường mà vật đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10, ta cần tính tích phân của vận tốc theo thời gian trong khoảng từ 4 đến 10. Bước 1: Xác định hàm vận tốc \( v(t) = 3t^2 + 5 \). Bước 2: Tính tích phân của hàm vận tốc từ 4 đến 10: \[ s = \int_{4}^{10} v(t) \, dt = \int_{4}^{10} (3t^2 + 5) \, dt \] Bước 3: Tính tích phân từng phần: \[ \int (3t^2 + 5) \, dt = \int 3t^2 \, dt + \int 5 \, dt \] \[ = 3 \int t^2 \, dt + 5 \int 1 \, dt \] \[ = 3 \left( \frac{t^3}{3} \right) + 5t \] \[ = t^3 + 5t \] Bước 4: Đánh giá tích phân tại các giới hạn: \[ s = \left[ t^3 + 5t \right]_{4}^{10} \] \[ = \left( 10^3 + 5 \cdot 10 \right) - \left( 4^3 + 5 \cdot 4 \right) \] \[ = (1000 + 50) - (64 + 20) \] \[ = 1050 - 84 \] \[ = 966 \] Vậy quãng đường vật đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là 966 m. Đáp án đúng là: D. 966 m. Câu 19. Để tính sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 125 đơn vị sản phẩm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính lợi nhuận khi bán được 100 đơn vị sản phẩm: \[ P(100) = -0,0004 \times 100 + 9,3 = -0,04 + 9,3 = 9,26 \text{ (triệu đồng)} \] 2. Tính lợi nhuận khi bán được 125 đơn vị sản phẩm: \[ P(125) = -0,0004 \times 125 + 9,3 = -0,05 + 9,3 = 9,25 \text{ (triệu đồng)} \] 3. Tính sự thay đổi của lợi nhuận: \[ \Delta P = P(125) - P(100) = 9,25 - 9,26 = -0,01 \text{ (triệu đồng)} \] Như vậy, sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 125 đơn vị sản phẩm là -0,01 triệu đồng. Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào đúng với kết quả trên. Do đó, có thể có lỗi trong đề bài hoặc các đáp án đã cho.